Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy, że sekretarka [tex]A[/tex] wykonuje [tex]x[/tex] pracy na godzinę, natomiast sekretarka [tex]B[/tex] wykonuje [tex]y[/tex] pracy na godzinę.
Nasze zmienne [tex]x[/tex] oraz [tex]y[/tex] to odpowiednie części w pełni wykonanej pracy przypadające na okres jednej godziny. Musimy więc przyjąć:
[tex]x\in\mathbb{R}:x>0 \ \wedge \ x\leq 1[/tex]
[tex]y\in\mathbb{R}:y>0 \ \wedge \ y\leq 1[/tex]
Jeżeli obie pracują przez dwanaście godzin wykonają całą pracę, czyli:
[tex]12x+12y=1[/tex]
Więc połowę wykonanej pracy możemy zapisać jako:
[tex]6x+6y[/tex]
Teraz pierwsza sekretarka [tex]A[/tex] sama wykonuje połowę pracy, czas potrzebny na jej wykonanie przez tę sekretarkę to:
[tex]$\frac{6x+6y}{x} $[/tex]
Sekretarka [tex]B[/tex] wykonuję połowę pracy, czas który na to przeznacza to:
[tex]$\frac{6x+6y}{y} $[/tex]
Wiemy, że ten czas w sumie to [tex]25[/tex] godzin, czyli:
[tex]$\frac{6x+6y}{x}+\frac{6x+6y}{y}=25$[/tex]
Tworzymy więc układ równań:
[tex]$\left \{ {{12x+12y=1} \atop {\frac{6x+6y}{x}+\frac{6x+6y}{y}=25 }} \right. $[/tex]
Wyznaczmy z pierwszego równania:
[tex]$y=\frac{1-12x}{12} $[/tex]
wtedy:
[tex]$\frac{6x+6\cdot\frac{1-12x}{12} }{x}+\frac{6x+6\cdot\frac{1-12x}{12}}{\frac{1-12x}{12}}=25$[/tex]
uprośćmy:
[tex]$\frac{6x+\frac{1}{2}-6x }{x}+\frac{6x+\frac{1}{2}-6x }{\frac{1}{12}-x} =25$[/tex]
[tex]$\frac{1}{2x}+\frac{6}{1-12x}=25 $[/tex]
[tex]$\frac{(1-12x)+(6\cdot2x)}{2x-24x^2} =25$[/tex]
Przyjmijmy, że mianownik powyższego ułamka jest różny od zera, czyli:
[tex]$x\neq 0 \ \wedge \ x\neq \frac{1}{12} $[/tex]
wtedy:
[tex]1-12x+12x=50x-600x^2\\\\600x^2-50x+1=0\\\\\Delta=100\\[/tex]
więc:
[tex]$x_1=\frac{1}{20} \ \vee \ x_2=\frac{1}{30} $[/tex]
Wtedy wartości [tex]y[/tex] to odpowiednio:
[tex]$y_1=\frac{1}{30} \ \vee \ \ y_2=\frac{1}{20} $[/tex]
Należy jeszcze przeanalizować wyniki, które odrzuciliśmy przez mnożenie.
Wiadomo już po dziedzinie, że [tex]x=0[/tex] nie może być rozwiązaniem. Dla [tex]$x=\frac{1}{12} $[/tex] otrzymamy: [tex]y=0[/tex] więc również nie jest to rozwiązanie.
Z powyższych rozważań wynika, że jedna z sekretarek wykonuje [tex]$\frac{1}{30} $[/tex] całej pracy na godzinę, natomiast druga z nich [tex]$\frac{1}{20} $[/tex] całej pracy na godzinę.
Więc odpowiedź jest następująca:
Pracując oddzielnie jedna z sekretarek potrzebowałaby dwudziestu godzin, a druga z nich trzydziestu godzin by wykonać całą pracę.
