Odpowiedź:
24
Szczegółowe wyjaśnienie:
Liczba cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby [tex]n \in \mathbb{Z}_+[/tex] dana jest wzorem:
[tex]k = \lfloor \log n\rfloor + 1[/tex]
Dla przykładu z zadania jest to:
[tex]k = \lfloor \log (5^{23} \cdot 2^{24})\rfloor + 1= \lfloor \log (10^{23} \cdot 2)\rfloor + 1[/tex]
Stosujemy własność działań na logarytmach [tex]\log (x \cdot y) = \log x + \log y[/tex]:
[tex]k = \lfloor \log (10^{23}) +\log2\rfloor + 1 = \lfloor 23 + \log 2\rfloor + 1[/tex]
Zauważmy, że [tex]0 < \log 2 < 1 \implies 23 < 23 + \log2 < 24 \implies \lfloor 23 + \log2 \rfloor = 23[/tex].
Zatem [tex]k=24[/tex].
