Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań - przenosimy wszystko na jedną stronę (najlepiej na lewo), obliczamy miejsca zerowe (deltą lub grupując wyrazy, albo jeśli się da to ze wzoru skróconego mnożenia).
Różnice są dwie:
1. Jeśli mnożymy/dzielimy przez liczbę ujemną to znak nierówności zmienia się na przeciwny.
2. Rozwiązaniem jest przedział lub sumę przedziałów. Miejsca zerowe ograniczają ten przedział/sumę, ale nie zawsze należą do rozwiązania.
a)
[tex]x-x^2\leqslant3-3x^2\\\\2x^2+x-3\leqslant0\\\\\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25\\\sqrt\Delta=5\\\\x_1=\dfrac{-1-5}{2\cdot2}=-\dfrac64=-\dfrac32\ ,\qquad x_2=\dfrac{-1+5}4=1\\\\\\\underline{\bold{x\in\big<-\frac32\,;\ 1\big>}}[/tex]
Nierówność nieostra, więc miejsca zerowe należą do rozwiązania; a=2>0, czyli ramiona paraboli w górę, ≤ czyli rozwiązaniem są iksy, dla których wykres znajduje się poniżej osi (rysunek)
c)
[tex]\left(\frac13x+\frac13\right)^2>\frac23x-\frac83\\\\\frac19x^2+\frac29x+\frac19-\frac23x+\frac83>0\qquad/\cdot9\\\\x^2+2x+1-6x+24>0\\\\x^2-4x+25>0\\\\\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot25=16-100=-84<0\\\\\underline{\bold{x\in\mathbb R}}[/tex]
Δ<0 oznacza brak miejsc zerowych (wykres nie dotyka osi), a=1>0 oznacza ramiona w górę, czyli cały wykres znajduje się nad osią. Znak nierówności: > oznacza, że do rozwiązania należą wszystkie iksy, dla których wykres znajduje się nad osią. Zatem nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x∈R
