Odpowiedź:
[tex]a^n-1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + a^2 + a + 1)[/tex]
[tex]a^{2k+1} + 1 = (a + 1)(a^{2k} - a^{2k-1} + a^{2k-2} + \cdots - a + 1)[/tex]
[tex]x^{12}-y^2 = (x^6+y)(x^6-y)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Należy przypomnieć sobie wzór na różnicę n-tych potęg:
[tex]a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})[/tex]
w tym szczególny przypadek - różnicę kwadratów:
[tex]a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)[/tex]
Zacznijmy więc od ostatniego przykładu - najprostszego. Tutaj skorzystamy z różnicy kwadratów:
[tex]x^{12}-y^2 = (x^6)^2-y^2 = (x^6+y)(x^6-y)[/tex]
i nic już więcej nie rozłożymy. Pora na przykład pierwszy - z ogólniejszym wzorem na różnicę n-tych potęg:
[tex]a^n-1 = a^n - 1^n = (a-1)(a^{n-1}\cdot 1 + a^{n-2}\cdot 1 + \cdots + a\cdot 1 + 1) =\\ (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + a^2 + a + 1)[/tex]
Podobnie można zrobić z drugim przykładem:
[tex]a^{2k+1} + 1 = a^{2k+1} - (-1) = a^{2k+1}- (-1)^{2k+1} = (a - (-1))(a^{2k} + a^{2k-1}(-1)^1 + a^{2k-2}(-1)^2 + \cdots + a(-1)^{2k-1} + (-1)^{2k}) = (a + 1)(a^{2k} - a^{2k-1} + a^{2k-2} + \cdots - a + 1)[/tex]