Załóżmy, że do umycia jest N okien i studencie mają sprawności mycia: η₁ oraz η₂
gdy myją razem
[tex]N=(\eta_1+\eta_2)t_{6}[/tex]
sytuacja opisana jako "pewnego dnia":
[tex]N=(\eta_1+\eta_2)t_2+\eta_2t_{10}[/tex]
rozwiązuję ten układ równań:
[tex]\frac{N}{t_6}=\eta_1+\eta_2\\\frac{N}{t_2}=\eta_1+\eta_2+\eta_2\frac{t_{10}}{t_2}[/tex]
odejmują stronami
[tex]\eta_2\frac{t_{10}}{t_2}=\frac{N}{t_2}-\frac{N}{t_6}\\\eta_2=\frac{N}{t_{10}}-\frac{Nt_2}{t_6t_{10}}=\frac{N(t_6-t_{2})}{t_6t_{10}}\\\eta_1=\frac{N}{t_6}-\frac{N(t_6-t_{2})}{t_6t_{10}}=\frac{N(t_{10}-t_6+t_2)}{t_6t_{10}}[/tex]
mając obliczone sprawności można wyznaczyć czas potrzebny na wykonanie tej czynności przez każdego ze studentów
[tex]\tau_1=\frac{N}{\eta_1}=\frac{t_6t_{10}}{t_{10}-t_6+t_2}=10h\\\tau_2=\frac{N}{\eta_2}=\frac{t_6t_{10}}{t_6-t_2}=15h[/tex]
Można też było nieco prościej, ale matematykom by się nie podobało:
Skoro pewnego dnia studenci pracowali razem 3 razy krócej niż zwykle, to umyli 1/3 wszystkich okien. Studentowi 2. pozostało 2/3 i zrobił to w 10h, zatem wszystkie okna umyłby sam w czasie 1.5 razy dłuższym, czyli w 15h.
Mając tę informację możemy obliczyć czas potrzebny pierwszemu studentowi (sprawność średnia jest średnią harmoniczną):
[tex]\frac{1}{6h}=\frac{1}{15h}+\frac{1}{\tau_1}\\\frac{1}{\tau_1}=\frac{5-2}{30h}\\\tau_1=10h[/tex]
pozdrawiam