Cześć!
[tex]z=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 i[/tex]
Przedstawiamy tę liczbę za pomocą punktu: [tex]A=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt3}{2})[/tex]. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wartość [tex]|z|[/tex]:
[tex]|z|^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt3}{2})^2\\\\|z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt3}{2})^2}\\\\|z| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}\\\\|z|=\sqrt{1} = 1[/tex]
Z definicji sinusa i cosinusa obliczymy argument:
[tex]sin\varphi = \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{1} = -\frac{\sqrt3}{2} \iff \varphi \in \{\frac{5\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\}\\\\cos\varphi = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = - \frac{1}{2} \iff \varphi \in \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}[/tex]
Sinus i cosinus są ujemne, zatem kąt [tex]\varphi[/tex] to kąt trzeciej ćwiartki. Częścią wspólnych powyższych równań jest [tex]\varphi = \frac{4\pi}{3}[/tex], zatem [tex]\mathrm{arg}z=\frac{4\pi}{3}[/tex].
Postać trygonometryczna liczby zespolonej:
[tex]\mathrm{z=|z|(cos\varphi + isin\varphi)}[/tex]
[tex]z=1 \cdot (cos\frac{4\pi}{3}+ isin\frac{4\pi}{3}) \Longrightarrow z=(cos\frac{4\pi}{3}+ isin\frac{4\pi}{3})[/tex]
Postać wykładnicza liczby zespolonej:
[tex]\mathrm{z=|z| \cdot e^{\varphi i}\\}[/tex]
[tex]z = 1 \cdot e^{\frac{4\pi}{3}i} \Longrightarrow z = e^{\frac{4\pi}{3}i}[/tex]
Pozdrawiam!
