Odpowiedź:
[tex]\frac{\pi^2\sqrt{3}}{18}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciekawe granice całkowania i równość [tex]\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \frac{1}{\tan x} \implies \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}[/tex]
naprowadzają nas na podstawienie [tex]u = \frac{1}{x}[/tex]. [tex]\mathrm{d} x = -\frac{\mathrm{d} u}{u^2}[/tex]. Zatem:
[tex]I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan x}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \int_{u = 2}^{u=\frac{1}{2}}\frac{\arctan \frac{1}{u}} {\frac{1}{u^2}-\frac{1}{u}+1} \cdot \frac{-1}{u^2} \mathrm{d} u = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan \frac{1}{u}}{u^2-u+1} \mathrm{d} u[/tex]
Czyli:
[tex]2I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\arctan x + \arctan \frac{1}{x}}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x^2-x+1} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \mathrm{d} x[/tex]
[tex]2I = \frac{\pi}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan{\frac{2x-1}{\sqrt{3}} \Big|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} (\arctan{\sqrt{3} - \arctan 0) = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} \cdor \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2 \sqrt{3}}{9}[/tex]
Stąd [tex]I = \frac{\pi^2 \sqrt{3}}{18}[/tex]. Odpowiedź podana przez pytającego jest poprawna.
