a)
[tex]\sim\{(p\Rightarrow q)\Rightarrow[(q\Rightarrow r)\Rightarrow(\sim r\Rightarrow \sim p)]\}\\(p\Rightarrow q) \wedge \sim[(q\Rightarrow r)\Rightarrow(\sim r\Rightarrow \sim p)]\\(p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow r) \wedge\sim(\sim r\Rightarrow \sim p)\\(p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow r) \wedge(\sim r\wedge p)[/tex]
b)
[tex]\sim\{p \Leftrightarrow [q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\}\\\sim\{p\Rightarrow[q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\} \vee \sim\{[q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\Rightarrow p\}\\\{p\wedge \sim [q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\}\vee\{[q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\wedge \sim p\}\\\{p\wedge [\sim q\vee \sim(\sim p\Rightarrow q)]\}\vee\{[q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\wedge \sim p\}\\\{p\wedge [\sim q\vee (\sim p\wedge \sim q)]\}\vee\{[q\wedge (\sim p\Rightarrow q)]\wedge \sim p\}[/tex]
c)
[tex]\sim\{[\sim(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\Leftrightarrow (p\wedge \sim q)\}\\\sim\{\text{[}\sim(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\Rightarrow (p\wedge \sim q)\}\vee \sim\{(p\wedge \sim q)\Rightarrow \text{[}\sim(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\}\\\{\text{[}\sim(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\wedge\sim (p\wedge \sim q)\}\vee\{(p\wedge \sim q)\wedge \sim \text{[}\sim(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)]\}[/tex]
[tex]\{\text{[}(p\wedge \sim q)\wedge (q\Rightarrow p)]\wedge(\sim p\vee q)\}\vee\{(p\wedge \sim q)\wedge \text{[}(p\Rightarrow q)\vee \sim(q\Rightarrow p)]\}\\\{\text{[}(p\wedge \sim q)\wedge (q\Rightarrow p)]\wedge(\sim p\vee q)\}\vee\{(p\wedge \sim q)\wedge \text{[}(p\Rightarrow q)\vee (q\wedge \sim p)]\}[/tex]
d)
[tex]\sim\{(p\vee q\vee r)\Rightarrow \{\sim p\Rightarrow [(q \vee r)\wedge \sim p]\}\}\\(p\vee q\vee r)\wedge \sim\{\sim p\Rightarrow [(q \vee r)\wedge \sim p]\}\\(p\vee q\vee r)\wedge \{\sim p\wedge \sim [(q \vee r)\wedge \sim p]\}\\(p\vee q\vee r)\wedge \{\sim p\wedge [\sim (q \vee r)\vee p]\}\\(p\vee q\vee r)\wedge \{\sim p\wedge [(\sim q \wedge \sim r)\vee p]\}[/tex]
