a)
x² > -6
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest większy od 0 lub równy 0, czyli jest zawsze większy od dowolnej liczby ujemnej,
Zatem:
x ∈ R
b)
x² + 2 < 0
x² < - 2
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest ≥ 0, czyli nigdy nie będzie mniejszy od żadnej liczby ujemnej.
Zatem:
x ∈ ∅
c)
(x + 1)² ≤ 0
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest większy od 0 lub równy 0. Skoro nie może być <0 to zostaje nam:
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0
x = -1
x ∈ {-1}
d)
(3 - x)⁴ > 0
Parzysta potęga dowolnej liczby zawsze jest ≥0.
Czyli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x oprócz tego, który "wyzeruje" potęgę.
(3 - x)⁴ ≠ 0
3 - x ≠ 0
x ≠ 3
Zatem:
x ∈ R \ {3}
e)
- x² - 3 ≥ 1 /+3
- x² ≥ 4 /·(-1)
x² ≤ - 4
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest ≥0, czyli nigdy nie jest mniejszy ani równy żadnej liczbie ujemnej.
Zatem:
x ∈ ∅
f)
- (x + 2)² ≤ 1 /·(-1)
(x + 2)² ≥ -1
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest ≥ 0, czyli jest zawsze większy od dowolnej liczby ujemnej.
Zatem:
x ∈ R
g)
(x - 4)² > 0
Kwadrat dowolnej liczby zawsze ≥0.
Czyli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x oprócz tego, który "wyzeruje" potęgę:
(x - 4)² ≠ 0
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4
Zatem:
x ∈ R \ {4}
h)
(7 - x)² ≤ 0
Kwadrat dowolnej liczby zawsze jest ≥0. Skoro nie może być <0 to zostaje nam:
(7 - x)² = 0
7 - x = 0
x = 7
x ∈ {7}
