Rozwiązanie:
Równanie:
[tex]2x^{2}y'=y[/tex]
Najpierw rozdzielamy zmienne:
[tex]$2x^{2}\frac{dy}{dx}=y$\\[/tex]
[tex]$2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}}[/tex]
[tex]$2dy=\frac{y}{x^{2}}dx[/tex]
[tex]$2\frac{dy}{y} =\frac{1}{x^{2}}dx[/tex]
Aby takie równanie rozwiązać należy je obustronnie scałkować:
[tex]$\int\, 2\frac{dy}{y} =\int\, \frac{1}{x^{2}}dx[/tex]
Wyrzucamy stałą przed całkę z lewej strony:
[tex]$2\int\, \frac{dy}{y} =\int\, \frac{1}{x^{2}}dx[/tex]
Są to standardowe całki - lewą całkę obliczymy stosując wzór:
[tex]$\int \frac{1}{x} dx =ln|x|+C[/tex]
Natomiast całkę po prawej obliczamy ze wzoru:
[tex]$\int {x^{n}} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} +C[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$2ln|y|=-\frac{1}{x}+C[/tex]
Pozostało wyznaczyć [tex]y[/tex] :
[tex]$ln|y|=-\frac{1}{2x} +C[/tex]
Teraz przykładamy obustronnie funkcję odwrotną, czyli eksponentę:
[tex]$e^{ln{|y|}}=e^{-\frac{1}{2x}+C}[/tex]
[tex]$|y|=e^{-\frac{1}{2x}+C}[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]$y=e^{-\frac{1}{2x}} \cdot C[/tex]