Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a)\ 3^{-\frac34}\cdot\sqrt{3^3}\cdot \sqrt[4]9=3^{-\frac34}\cdot(3^3)^\frac12\cdot9^\frac14=3^{-\frac34}\cdot3^{\frac32}}\cdot(3^2)^\frac14=\\\\=3^{-\frac34}\cdot3^\frac32\cdot3^\frac12=3^{-\frac34+\frac32+\frac12}=3^{-\frac34+2}=3^{1\frac14}=3^\frac54[/tex]
[tex]b)\ \sqrt[6]{4^3}\cdot2^\frac32:8^{-\frac23}=(4^3)^\frac16\cdot2^\frac32:(2^3)^{-\frac23}=4^\frac12\cdot2^\frac32:2^{-2}=\\\\=(2^2)^\frac12\cdot2^\frac32:2^{-2}=2\cdot2^\frac32:2^{-2}=2^{1+\frac32-(-2)}=2^{3+\frac32}=2^{4\frac12}=2^{\frac92}}[/tex]
[tex]c)\ \dfrac{\sqrt[3]{625}\cdot25^\frac34\cdot\sqrt[6]5}{125^\frac23\cdot5^{-3}}=\dfrac{625^\frac13\cdot25^\frac34\cdot5^\frac16}{125^\frac23\cdot5^{-3}}=\dfrac{(5^4)^\frac13\cdot(5^2)^\frac34\cdot5^\frac16}{(5^3)^\frac23\cdot5^{-3}}=\\\\\\=\dfrac{5^\frac43\cdot5^\frac32\cdot5^\frac16}{5^2\cdot5^{-3}}=\dfrac{5^{\frac43+\frac32+\frac16}}{5^{-1}}=\dfrac{5^{\frac86+\frac{9}{6}+\frac16}}{5^{-1}}=\dfrac{5^{\frac{18}{6}}}{5^{-1}}=\dfrac{5^3}{5^{-1}}=5^{3-(-1)}=5^4[/tex]
Wykorzystano podstawowe własności potęgowania i pierwiastkowania:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\a^n:a^m=a^{n-m}\\\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\\sqrt{a}=a^\frac12\\\\\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/tex]
