Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy funkcję :
f(x) = 1/2 * x^4 - 1
Równanie stycznej do danej krzywej f(x):
y - y0 = f'(x0) * (x - x0) gdzie:
x0, y0 - współrzędne pkt styczności
f'(x0) - wartość pochodnej funkcji f(x) w pkt x0 - jednocześnie tangens kąta nachylenia stycznej, czyli jej współczynnik kierunkowy "a".
a) Styczna jest równoległa do prostej :
2x + y = 0 -> y = -2x czyli:
a = -2
czyli :
f'(x0) = -2
f'(x0) = 1/2 * 4 * x0³ = -2
2*x0³ = -2
x0 = -1
y0 = f(x0) = 1/2 * (-1)^4 - 1 = 1/2 - 1 = -1/2
Równanie stycznej:
y + 1/2 = (-2)*(x+1)
y = -2x - 2 - 1/2
y = -2x - 5/2
b) Styczna jest prostopadła do prostej:
4x + y - 1 = 0 -> y = -4x + 1
czyli:
a = 1/4
f'(x0) = 1/4
f'(x0) = 1/2 * 4 * x0³ = 1/4
2*x0³ = 1/4 -> x0³ = 1/8
x0 = 1/2
y0 = f(x0) = 1/2 * (1/2)^4 - 1 = 1/2 * 1/16 - 1 = 1/32 - 1 = 1/32 - 32/32 = -31/32
Równanie stycznej:
y - y0 = f'(x0)*(x - x0)
y + 31/32 = (1/4)*(x - 1/2)
y = 1/4 *x - 1/8 - 31/32 = 1/4 * x - 4/32 - 31/32
y = 1/4 * x - 35/32 = 1/4 * x - 1 3/32
c) Styczna przechodzi przez pkt P(0, -5/2)
f(0) = -1 ≠ -5/2 -> punkt P(0; -5/2) nie jest punktem styczności
Postać równania stycznej:
f(x) - f(x0) = f'(x0)*(x - x0)
f'(x) = 2x³
f'(x0) = 2x0³
podstawiam punkt P(0; -5/2):
-5/2 - (1/2 * x0^4 - 1) = 2x0³ *(0 - x0)
-5/2 - 1/2 * x0^4 + 1 = -2*x0^4
-5/2 - 1/2 * x0^4 + 1 + 2*x0^4 = 0 / *2
-5 - x0^4 + 2 + 4*x0^4 = 0
3 * x0^4 = 3 to znaczy że:
x0 = 1
wtedy:
y0 = f(x0) = 1/2 - 1 = -1/2
f'(1) = 2
Równanie stycznej ma postać :
y + 1/2 = 2(x - 1)
y = 2x - 5/2
