1.
Dowód nie wprost
Załóżmy, że
[tex]\sqrt{p}=x\in N[/tex]
wtedy
[tex]p=x^2=x\cdot x[/tex]
co już pokazuje sprzeczność, gdyż p dzieli się przez x, więc nie jest liczbą pierwszą
2.
Ponownie, dowód nie wprost
zakładam, że rozważane pierwiastek jest jednak liczbą wymierną. Zgodnie z definicją liczby wymiernej, można ją przedstawić zawsze jako ułamek zwykły:
[tex]\sqrt{a}=\frac{p}{q}\in Q\\p,q\in Z,\ q\neq0[/tex]
zatem
[tex]a=\frac{p^2}{q^2}=\frac{m}{n}[/tex]
co znów prowadzi do sprzeczności, gdyż a miała być liczbą niewymierną, a tymczasem dowiodłem, że jeśli pierwiastek jet wymierny, to liczba pod pierwiastkiem też jest wymierna.
Uwaga: przy dowodzeniu twierdzeń zawsze można zastosować twierdzenie przeciwstawne; czyli zamiast dowodzić twierdzenia, jeżeli A to B, można dowodzić: jeżeli nie B, to nie A. Ja właśnie to zrobiłem zakładając zaprzeczenia tezy oryginalnych twierdzeń i pokazując wynikanie z tego zaprzeczenia założeń.
pozdrawiam
