Odpowiedź:
[tex]x \in (-\infty,-\sqrt{e} ) \cup (-1,-\frac{1}{\sqrt{e} } ) \cup (0,\frac{1}{\sqrt{e} } ) \cup (1,\sqrt{e} )[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$\frac{ln^{2}x^{2}-1}{xlnx^{2}} <0[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę nierówności:
[tex]D: x^{2}>0 \wedge xlnx^{2}\neq 0\\x\neq 0 \wedge x^{2}\neq 1\\x\neq -1 \wedge x\neq 0 \wedge x\neq 1[/tex]
Rozwiązujemy:
Iloraz będzie mniejszy od zera, jeżeli:
[tex]1^{\circ}[/tex]
[tex]ln^{2}x^{2}-1<0 \wedge xlnx^{2}>0\\[/tex]
Zajmijmy się pierwszy przypadkiem:
[tex](lnx^{2}-1)(lnx^{2}+1)<0[/tex]
Niech [tex]t=lnx^{2}[/tex], wtedy:
[tex](t-1)(t+1)<0\\t \in (-1,1) \iff lnx^{2} \in (-1,1)[/tex]
Zatem mamy:
[tex]-1<lnx^{2}<1\\ln(\frac{1}{e} )<lnx^{2}<ln(e)\\\frac{1}{e} <x^{2}<e\\x \in (-\sqrt{e},-\frac{1}{\sqrt{e} } ) \cup (\frac{1}{\sqrt{e} },\sqrt{e} )[/tex]
Teraz zajmijmy się drugim przypadkiem:
[tex]xlnx^{2}>0[/tex]
Ten warunek będzie spełniony, jeżeli czynniki będą tych samych znaków:
[tex](x>0 \wedge lnx^{2}>0) \vee (x<0 \wedge lnx^{2}<0)\\(x>0 \wedge x^{2}>1) \vee (x<0 \wedge x^{2}<1)\\(x>1) \vee (-1< x<0)\\x \in (-1,0) \cup (1,\infty)[/tex]
Teraz bierzemy część wspólną obu przypadków i otrzymujemy:
[tex]x \in (-1,-\frac{1}{\sqrt{e} }) \cup (1,\sqrt{e} )[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex]
[tex]ln^{2}x^{2}-1>0 \wedge xlnx^{2}<0[/tex]
Rozwiązywanie będzie analogiczne (gdyż otrzymamy po prostu dopełnienia powyższych zbiorów). Z pierwszego przypadku mamy:
[tex]x \in (-\infty,-\sqrt{e} ) \cup (-\frac{1}{\sqrt{e} } ,0 ) \cup (0,\frac{1}{\sqrt{e} }) \cup (\sqrt{e} ,\infty)[/tex]
Z drugiego warunku otrzymamy:
[tex]x \in (-\infty,-1) \cup (0,1)[/tex]
Teraz bierzemy część wspólną obu przypadków i otrzymujemy:
[tex]x \in (-\infty,-\sqrt{e} ) \cup (0,\frac{1}{\sqrt{e} } )[/tex]
Ostateczną odpowiedź do zadania otrzymamy biorąc sumę otrzymanych rozwiązań w [tex]1^{\circ}[/tex] oraz w [tex]2^{\circ}[/tex] :
[tex]x \in (-\infty,-\sqrt{e} ) \cup (-1,-\frac{1}{\sqrt{e} } ) \cup (0,\frac{1}{\sqrt{e} } ) \cup (1,\sqrt{e} )[/tex]
