Rozwiązane

PILNEEEE
(2 +√3)^x +(2-√3)^x = 4



PILNEEEE 2 3x 23x 4 class=

Odpowiedź :

Louie314

Odpowiedź:

[tex]x=-1 \vee x=1[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex](2+\sqrt{3} )^{x}+(2-\sqrt{3} )^{x}=4[/tex]

Wystarczy zauważyć, że:

[tex]$\frac{1}{2-\sqrt{3} } =\frac{2+\sqrt{3} }{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) } =\frac{2+\sqrt{3} }{4-3} =2+\sqrt{3}[/tex]

Zatem:

[tex]$(\frac{1}{2-\sqrt{3} } )^{x}+(2-\sqrt{3} )^{x}=4[/tex]

Teraz podstawimy [tex]t=(2-\sqrt{3} )^{x}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex] :

[tex]$\frac{1}{t} +t=4[/tex]

[tex]t^{2}-4t+1=0\\\Delta=16-4 \cdot 1 \cdot 1=12\\t_{1}=\frac{4-2\sqrt{3} }{2} =2-\sqrt{3} \\t_{2}=\frac{4+2\sqrt{3} }{2} =2+\sqrt{3}[/tex]

Teraz wracamy do oryginalnych zmiennych:

[tex](2-\sqrt{3} )^{x}=2-\sqrt{3} \vee (2-\sqrt{3} )^{x}=2+\sqrt{3}\\x=1 \vee x=-1[/tex]

Marsuw

Odpowiedź:

[tex]2+\sqrt3=}(2+\sqrt3)*\frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{(2+\sqrt3)*(2-\sqrt3)}{2-\sqrt3}} =\frac{4-3}{2-\sqrt3}} =\frac{1}{2-\sqrt3}} \\ (\frac{1}{2-\sqrt3}})^x+(2-\sqrt3})^x=4\\\\(2-\sqrt3})^x=a\\\\\frac{1}{a}+a=4 \\1+a^2=4a\\a^2-4a+1=0\\\Delta=16-4*1*1=12\\\sqrt\Delta=2\sqrt3\\a_1=\frac{4-2\sqrt3}{2}= 2-\sqrt3\\a_2=\frac{4+2\sqrt3}{2}= 2+\sqrt3\\Czyli:\\(2-\sqrt3})^x=(2-\sqrt3})\ lub\ (2-\sqrt3})^x=(2+\sqrt3})\\to x=1 \ lub \ x= -1[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Inne Pytanie