Odpowiedź :
Odpowiedź:
Najważniejsza zasada: Jeżeli mamy dwa pierwiastki pomnożyć lub podzielić, to możemy zrobić to pod jednym daszkiem. Warunek jest taki, że to musi być ten sam stopień pierwiastka. Dużą liczbę, która znajduje się pod pierwiastkiem można sobie rozpisać.
Jeśli jednak mamy wykonać dodawanie lub odejmowanie na pierwiastkach, to NIE MOŻEMY dać liczb pod wspólny daszek.
To jak już mamy podstawy to możemy rozwiązać zadania.
--------------------------------------------------------
3a)
[tex]\sqrt{32}[/tex] · [tex]\sqrt{8}[/tex] = [tex]\sqrt{32 * 8}[/tex] = [tex]\sqrt{256}[/tex] = 16 (gwiazdka to też znak mnożenia tylko inaczej się nie dało zapisać)
Pierwiastek z 256 i innych dużych liczb możesz prawdopodobnie znaleźć na końcu swojej książki od matematyki, jeśli nie to wygoogluj sobie takie cięższe liczby i przepisz do zeszytu, to przydatne.
wynik: 16
3b)
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex]
Górę z dołem możemy skracać. Wygodnie nam będzie podzielić 98 oraz 80 przez 2, bo obie te liczby mogą nam się przez to podzielić. Nie ma z tym problemu, ponieważ są to pierwiastki tego samego stopnia. A więc:
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex]
Następnie aby sobie uprościć skróćmy jeszcze 375 i 40. Obie te liczby są podzielne przez 5, więc tak zróbmy
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex]
Póki co bardziej skrócić nie możemy. Ale już widać, że [tex]\sqrt{49}[/tex] to 7, więc:
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex]
Wiemy, że [tex]\sqrt{75}[/tex] możemy zapisać jako [tex]\sqrt{25*3}[/tex], a to z kolei to samo co [tex]\sqrt{25}[/tex] · [tex]\sqrt{3}[/tex]. Z 3 nie da się wyciągnąć pierwiastka, jednak z 25 tak, więc [tex]\sqrt{25*3}[/tex] możemy zapisać jako 5[tex]\sqrt{3}[/tex]. Tak też zróbmy:
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{7*5\sqrt{3} }{\sqrt{8} } }[/tex]
Teraz wiadomo, mnożenie:
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{7*5\sqrt{3} }{\sqrt{8} } }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{\sqrt{8} }[/tex]
Teraz zajmijmy się dołem. [tex]\sqrt{8}[/tex] możemy zapisać jako [tex]\sqrt{4}[/tex] · [tex]\sqrt{2}[/tex]. Z 4 można wyciągnąć pierwiastek, więc [tex]\sqrt{8}[/tex] = 2[tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{7*5\sqrt{3} }{\sqrt{8} } }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{2\sqrt{2} }[/tex]
Nie możemy zostawić pierwiastka na dole, więc mnożymy dół i górę przez to, co mamy na dole. Bierzemy pod uwagę sam pierwiastek, bo to jego chcemy się pozbyć!
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{7*5\sqrt{3} }{\sqrt{8} } }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{2\sqrt{2} }[/tex] · [tex]\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3}*\sqrt{2} }{2\sqrt{2}*\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{35*\sqrt{6} }{2*2}[/tex]
2 · 2 bierze się stąd, że pierwsza dwójka już sobie była, a drugą wzięliśmy z faktu, że [tex]\sqrt{2}[/tex] · [tex]\sqrt{2}[/tex] to to samo co [tex]\sqrt{2} ^{2}[/tex] czyli po prostu 2, ponieważ mamy pierwiastek drugiego stopnia i potęgę drugiego stopnia co sprawia, że znika nam daszek.
A więc dokończmy ostatnie działanie:
[tex]\frac{\sqrt{98} *\sqrt{375} }{\sqrt{80} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{375} }{\sqrt{40} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{49}*\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{7\sqrt{75} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{7*5\sqrt{3} }{\sqrt{8} } }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{\sqrt{8} }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3} }{2\sqrt{2} }[/tex] · [tex]\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{3}*\sqrt{2} }{2\sqrt{2}*\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{35*\sqrt{6} }{2*2}[/tex] = [tex]\frac{35\sqrt{6} }{4}[/tex]
wynik: [tex]\frac{35\sqrt{6} }{4}[/tex]
3c)
(4-3[tex]\sqrt{5}[/tex])([tex]\sqrt{5}[/tex]+2)
Mnożymy nawiasy
(4-3[tex]\sqrt{5}[/tex])([tex]\sqrt{5}[/tex]+2) = 4[tex]\sqrt{5}[/tex]+4 · 2 - 3[tex]\sqrt{5}[/tex] · [tex]\sqrt{5}[/tex] - 3[tex]\sqrt{5}[/tex] · 2
Teraz wykonujemy zwykłe działania
(4-3[tex]\sqrt{5}[/tex])([tex]\sqrt{5}[/tex]+2) = 4[tex]\sqrt{5}[/tex]+4 · 2 - 3[tex]\sqrt{5}[/tex] · [tex]\sqrt{5}[/tex] - 3[tex]\sqrt{5}[/tex] · 2 = 4[tex]\sqrt{5}[/tex] + 8 - 15 - 6[tex]\sqrt{5}[/tex] = -2[tex]\sqrt{5}[/tex] -7
wynik: -2[tex]\sqrt{5}[/tex] -7
zad. 5
Tutaj zasada jest prosta. Mnożymy górę i dół przez to, co jest na dole.
a)
[tex]\frac{3}{\sqrt{7} }[/tex] = [tex]\frac{3}{\sqrt{7} }[/tex] * [tex]\frac{\sqrt{7} }{\sqrt{7} }[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{7} }{\sqrt{7}*\sqrt{7} }[/tex]
Gdy pomnożymy te same pierwiastki to dadzą nam liczbę pod pierwiastkiem czyli
[tex]\frac{3}{\sqrt{7} }[/tex] = [tex]\frac{3}{\sqrt{7} }[/tex] * [tex]\frac{\sqrt{7} }{\sqrt{7} }[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{7} }{\sqrt{7}*\sqrt{7} }[/tex] = [tex]\frac{3\sqrt{7} }{7}[/tex]
Tak się to robi matematycznie. W przyszłości, gdy takie działanie będzie tylko małym elementem całego równania, to możesz po prostu na górze przepisać to co było na dole (w tym przypadku na górze do 3 dopisać pierwiastek z 7) a na dole napisać samą liczbę pod pierwiastkiem. Działa to TYLKO gdy na górze masz jedną liczbę, a na dole pojedynczy pierwiastkiem drugiego stopnia (bez cyferki koło daszka)
wynik: [tex]\frac{3\sqrt{7} }{7}[/tex]
b)
[tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] * [tex]\frac{3\sqrt{2} }{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4*3\sqrt{2} }{3\sqrt{2}*3\sqrt{2} }[/tex]
Teraz wykonajmy na górze mnożenie, 4 · 3 = 12, to proste. Na dole musimy pamiętać, że dany pierwiastek pomnożony przez ten sam pierwiastek to nic innego niż pierwiastek do potęgi. Prościej: [tex]\sqrt{2}[/tex] · [tex]\sqrt{2}[/tex] = [tex]\sqrt{2} ^{2}[/tex]. Pierwiastek jest drugiego stopnia, więc spotęgowany do ,,swojego stopnia" (czyli dwójki) da nam po prostu liczbę spod pierwiastka. Czyli [tex]\sqrt{2} ^{2}[/tex] = 2. Weźmy to pod uwagę patrząc na mianownik (dół) naszej liczby
[tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] * [tex]\frac{3\sqrt{2} }{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4*3\sqrt{2} }{3\sqrt{2}*3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{12\sqrt{2} }{3*2*3}[/tex] = [tex]\frac{12\sqrt{2} }{18}[/tex]
Możemy to jeszcze skrócić, a więc:
[tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4}{3\sqrt{2} }[/tex] * [tex]\frac{3\sqrt{2} }{3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{4*3\sqrt{2} }{3\sqrt{2}*3\sqrt{2} }[/tex] = [tex]\frac{12\sqrt{2} }{3*2*3}[/tex] = [tex]\frac{12\sqrt{2} }{18}[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{2} }{3}[/tex]
wynik: [tex]\frac{2\sqrt{2} }{3}[/tex]
c)
[tex]\sqrt{1\frac{61}{64} }[/tex]
1 to nic innego jak [tex]\frac{64}{64}[/tex], a więc dodajmy to do [tex]\frac{61}{64}[/tex] aby wyszedł nam tzw. ułamek niewłaściwy (czyli w brzydkiej formie ale czytelny):
[tex]\sqrt{1\frac{61}{64} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{125}{64} }[/tex]
Z dołu już możemy wyciągnąć pierwiastek, bo [tex]\sqrt{64}[/tex] = 8, więc:
[tex]\sqrt{1\frac{61}{64} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{125}{64} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{125} }{8}[/tex]
Problem mamy z górą. Więc rozłóżmy sobie to na jedną liczbę, którą można spierwiastkować i drugą jakąkolwiek, zwykłą. Najwygodniej jest wziąć 25 · 5.
[tex]\sqrt{1\frac{61}{64} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{125}{64} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{125} }{8}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{25*5} }{8}[/tex]
Przypominam to co pisałam na początku, że [tex]\sqrt{25*5}[/tex] = [tex]\sqrt{25}[/tex] · [tex]\sqrt{5}[/tex]. Liczbę 25 możemy spierwiastkować, niestety 5 musimy zostawić ponieważ nic nie da się z tego zrobić.
[tex]\sqrt{1\frac{61}{64} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{125}{64} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{125} }{8}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{25*5} }{8}[/tex] = [tex]\frac{5\sqrt{5} }{8}[/tex]
wynik: [tex]\frac{5\sqrt{5} }{8}[/tex]
