Rozwiązanie:
Ciąg [tex](x,y,z)[/tex] jest arytmetyczny. Możemy zatem przyjąć, że:
[tex]x=a_{1}\\y=a_{1}+r\\z=a_{1}+2r[/tex]
Ponadto [tex]x+y+z=12[/tex], więc:
[tex]a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12\\3a_{1}+3r=12\\a_{1}+r=4\\r=4-a_{1}[/tex]
Ciąg [tex](x+3,y+3,z+3)[/tex] ma być geometryczny, tak więc:
[tex](y+3)^{2}=(x+3)(z+3)[/tex]
Czyli:
[tex](a_{1}+r+3)^{2}=(a_{1}+3)(a_{1}+2r+3)\\(4+3)^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}r+3a_{1}+3a_{1}+6r+9\\a_{1}^{2}+2a_{1}r+6a_{1}+6r+9=49\\a_{1}^{2}+2a_{1}r+6a_{1}+6r-40=0[/tex]
Teraz podstawmy wcześniej obliczoną wartość:
[tex]a_{1}^{2}+2a_{1}(4-a_{1})+6a_{1}+6(4-a_{1})-40=0\\a_{1}^{2}+8a_{1}-2a_{1}^{2}+6a_{1}+24-6a_{1}-40=0\\-a_{1}^{2}+8a_{1}-16=0\\a_{1}^{2}-8a_{1}+16=0\\(a_{1}-4)^{2}=0\\a_{1}=4[/tex]
Stąd:
[tex]r=4-4=0[/tex]
Zatem:
[tex]x=4\\y=4\\z=4[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]xyz=4^{3}=8^{2}\\8 \in \mathbb{N}[/tex]
co kończy dowód.
