Obliczamy miarę trzeciego kąta:
[tex]|\sphericalangle ACB|=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}[/tex]
Mamy zatem trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°. Długości boków w takim trójkącie wyrażają się w stosunku:
[tex]1:\sqrt{3}:2[/tex]
Stąd długość boku BC to:
[tex]|BC|=|AC|\cdot\sqrt{3}=4\cdot\sqrt{3}=\boxed{4\sqrt{3}}[/tex]
Dygresja:
Długość boku BC możemy również obliczyć, korzystając z trygonometrii:
[tex]\dfrac{\alpha}{4}=\text{tg }60^{\circ}\\\\\alpha=4\cdot\text{tg }60^{\circ}=4\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}[/tex]
Wyznaczymy teraz długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Jest ona 2 razy dłuższa od długości boku AC (trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego):
[tex]|AB|=2\cdot|AC|=2\cdot4=8[/tex]
Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna tego trójkąta. Stąd promień okręgu opisanego to:
[tex]r=\dfrac{|AB|}{2}=\boxed{4}[/tex]
