Rozwiązanie:
22.
[tex]$\sum\limits^4_{i=0} \sum\limits^{2i}_{j=i} (i^{2}+j^{2})[/tex]
Rozpiszmy sumę wewnętrzną:
[tex]$\sum\limits^{2i}_{j=i} (i^{2}+j^{2})=(i^{2}+i^{2})+(i^{2}+(i+1)^{2})+(i^{2}+(i+2)^{2})+...+(i^{2}+(i+i)^{2})[/tex]
[tex]$\sum\limits^{2i}_{j=i} (i^{2}+j^{2})=(i^{2}+i^{2})+(i^{2}+i^{2}+2i+1)+(i^{2}+i^{2}+4i+4)+...+(i^{2}+(i+i)^{2})[/tex]
Suma składa się z następujących składników:
[tex]i^{2}+i^{2}+ i^{2}+i^{2}+ i^{2}+i^{2}+ ...i^{2}+i^{2}[/tex] (występuje [tex]i+1[/tex] razy)
[tex]2i+4i+6i+8i+...+2i^{2}[/tex] (występuje [tex]i[/tex] razy)
[tex]1+4+9+16+25+...+i^{2}[/tex] (występuje [tex]i[/tex] razy)
Pierwszy z tych składników łatwo zsumować, jest to po prostu :
[tex](i+1)(i^{2}+i^{2})=2i^{2}(i+1)[/tex]
Drugi składnik też prosto zsumować :
[tex]$2i+4i+6i+8i+...+2i^{2}=2i(1+2+3+4+...+i)=2i \cdot \frac{1+i}{2} \cdot i= i^{2}(i+1)[/tex]
Przy sumowaniu trzeciego składnika skorzystamy z powszechnie znanego wzoru:
[tex]$\sum\limits^{n}_{i=0}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$1+4+9+16+25+...+i^{2}=\frac{i(i+1)(2i+1)}{6}[/tex]
Ostatecznie możemy zapisać, że:
[tex]$\sum\limits^{2i}_{j=i}=2i^{2}(i+1)+i^{2}(i+1)+\frac{i(i+1)(2i+1)}{6}[/tex]
Stąd:
[tex]$\sum\limits^4_{i=0} \sum\limits^{2i}_{j=i} (i^{2}+j^{2})=\sum\limits^4_{i=0} [2i^{2}(i+1)+i^{2}(i+1)+\frac{i(i+1)(2i+1)}{6}][/tex]
Teraz wystarczy podstawić [tex]i=0,1,2,3,4[/tex] i dodać wyniki:
[tex]$\sum\limits^4_{i=0} \sum\limits^{2i}_{j=i} (i^{2}+j^{2})=7+41+122+270=440[/tex]
23.
[tex]$\sum\limits^4_{i=1} \sum\limits^{4}_{j=1} ((j+i)^{2}-(j-i)^{2})=\sum\limits^4_{i=1} \sum\limits^{4}_{j=1} 4ij=\sum\limits^4_{i=1}4 \sum\limits^{4}_{j=1} ij[/tex]
Tutaj sytuacja jest nieco prostsza, gdyż po prostu podstawiamy wartości i dodajemy składniki :
[tex]$\sum\limits^4_{i=1}4 \sum\limits^{4}_{j=1} ij=\sum\limits^4_{i=1}4(i+2i+3i+4i)=\sum\limits^4_{i=1}40i=40(1+2+3+4)=400[/tex]
