Żeby sprawdzić, czy iloraz podanych liczb jest liczbą wymierną, należy wykonać dzielenie i wyłączyć największy możliwy czynnik przed pierwiastek (jeśli liczbami niewymiernymi były pierwiastki).
Np.:
iloraz liczb niewymiernych a i b:
dla a = √32 i b = √2
[tex]\dfrac ab=\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{32}2}=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4=\dfrac41[/tex] jest liczbą wymierną
dla a = √56 i b = √2
[tex]\dfrac ab=\dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{56}2}= \sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=\sqrt{2^2\cdot7}=2\sqrt7[/tex] jest liczbą niewymierną
Natomiast, żeby wykazać/uzasadnić, że iloraz dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną, trzeba znaleźć (wymyślić) dwie liczby niewymierne, których iloraz będzie wymierny i pokazać to wykonując dzielenie i pierwiastkując (jeśli liczbami niewymiernymi są pierwiastki).
Inne przykłady oprócz tego wyżej:
[tex]a=\sqrt{125}\ ,\ \ b=\sqrt5\\\\\dfrac ab=\dfrac{\sqrt{125}}{\sqrt5}= \sqrt{\dfrac{125}5}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5=\dfrac51\\\\\\a=\sqrt[3]{256}\ ,\ \ b=\sqrt[3]4\\\\\dfrac ab=\dfrac{\sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]4}= \sqrt[\big3]{\dfrac{256}4} = \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4=\dfrac41\\\\\\a=35\pi\ ,\ \ b=15\pi \\\\ \dfrac ab= \dfrac{35\pi}{15\pi}=\dfrac{35}{15}=\dfrac73[/tex]
[tex]a=\sqrt{18}\ ,\ \ b=\sqrt{50}\\\\\dfrac ab=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{50}}= \sqrt{\dfrac{18}{50}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt9}{\sqrt{25}}}= \dfrac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{5^2}}}=\dfrac35\\\\\\a=\sqrt[\big3]{\dfrac5{8}}\ ,\ \ b=\sqrt[\big3]{\dfrac1{25}}\\\\a:b=\sqrt[\big3]{\dfrac58}:\sqrt[\big3]{\dfrac1{25}} = \sqrt[\big3]{\dfrac58:\dfrac1{25}}= \sqrt[\big3]{\dfrac58\cdot\dfrac{25}1}= \sqrt[\big3]{\dfrac{125}8}=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{2^3}}=\dfrac52[/tex]
{Liczba wymierna to taka, która da się zapisać w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym. Stąd w uzasadnianiu wynik końcowy zawsze w postaci ułamka}