Zadanie 1
Układy równań rozwiążemy metodą podstawiania:
[tex]\left \{\begin{array}{l} {{x^2-4x-2y=0} \\ {2x+y-2=0}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{\begin{array}{l} {{x^2-4x=2y} \\ {y=2-2x}} \end{array}\right. \\\\\\x^2-4x=2(2-2x)\\\\x^2-4x=4-4x\\\\x^2-4=0\\\\(x+2)(x-2)=0\\\\x=-2\quad\text{lub}\quad x=2\\\\\left \{\begin{array}{l} {{x=-2} \\ {y=6}} \end{array}\right. \quad\text{lub}\quad \left \{\begin{array}{l} {{x=2} \\ {y=-2}} \end{array}\right.[/tex]
Interpretacja geometryczna:
Pierwsza figura to parabola:
[tex]y=\dfrac{1}{2}x^2-2x=\dfrac{1}{2}x(x-4)[/tex]
Parabola przechodzi przez punkty (0, 0) oraz (4, 0), a jej wierzchołkiem jest punkt W=(2, -2).
Druga figura to prosta:
[tex]y=-2x+2[/tex]
Prosta ta przechodzi przez punkty (0, 2) oraz (1, 0).
Rozwiązania układu równań to punkty przecięcia tych dwóch figur. Wykresy w załączniku.
Zadanie 2
[tex]\left \{ \begin{array}{l} {{y=2x^2-4x-3} \\ {8x+y+5=0}} \end{array}\right. \\\\\\\left \{ \begin{array}{l} {{y=2x^2-4x-3} \\ {y=-8x-5}} \end{array}\right. \\\\\\-8x-5=2x^2-4x-3\\\\2x^2+4x+2=0\\\\x^2+2x+1=0\\\\(x+1)^2=0\\\\x=-1\\\\\left \{ \begin{array}{l} {{x=-1} \\ {y=3}} \end{array}\right.[/tex]
Interpretacja geometryczna:
Mamy parabolę:
[tex]y=2x^2-4x-3[/tex]
Współrzędne wierzchołka:
[tex]a=2,\ b=-4,\ c=3\\\\p=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{4}=1\\\\q=f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1-3=-5\\\\W=(1,-5)[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]2x^2-4x-3=0\\\\\Delta=b^2-4ac=16+24=40[/tex]
Nic ładnego nie wyjdzie, więc możemy to pominąć. Funkcja przechodzi przez punkt (0, -3), więc również przez punkt (2, -3).
Druga figura to prosta:
[tex]y=-8x-5[/tex]
Prosta przechodzi przez punkty (0, -5) oraz (1, -13). Rozwiązanie w załączniku.
