Dwie piekarnie dostarczają do supermarketu pieczywo w stosunku ilościowym 3:5. 10% pieczywa z pierwszej piekarni oraz 12% pieczywa z drugiej piekarni ma zakalec. Oblicz prawdopodobieństwo, że kupione przez klienta pieczywo z zakalcem pochodzi z pierwszej piekarni.
proszę o obliczenia jak to się robi krok po kroku

Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia informuje nas, jaka jest szansa, że to zdarzenie zajdzie. Oznaczamy je przez [tex]P[/tex], np. [tex]P(A)[/tex].

Oznaczmy sobie jako:

[tex]A[/tex] - pierwsze zdarzenie,
[tex]B[/tex] - drugie zdarzenie, które dopełnia pierwsze (czyli [tex]P(A)+P(B)=1[/tex]),
[tex]\Omega[/tex] - przestrzeń wszystkich zdarzeń (tutaj [tex]\Omega=\{A,B\}[/tex]).

Zachodzą następujące własności:

[tex]0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1[/tex],
[tex]P(\Omega)=1[/tex].

Prawdopodobieństwo warunkowe

Jeśli chcemy znaleźć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, liczymy prawdopodobieństwo warunkowe. Mamy następujący wzór:

[tex]P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}[/tex],

gdzie:

[tex]P(A|B)[/tex] - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B,
[tex]P(A \cap B)=P(A)*P(B)[/tex].

Oznaczmy jako A - zdarzenie polegające na zakupieniu pieczywa z pierwszej piekarni; jako B - zdarzenie polegające na zakupieniu pieczywa z drugiej piekarni oraz jako C - zdarzenie, w którym zakupione pieczywo jest z zakalcem.

Skoro pieczywo z pierwszej i drugiej piekarni dostarczane jest odpowiednio w stosunku 3:5, to prawdopodobieństwo zakupienia pieczywa z pierwszej piekarni wynosi [tex]P(A)=\frac{3}{8}[/tex], a prawdopodobieństwo zakupienia pieczywa z drugiej piekarni jest równe [tex]P(B)=\frac{5}{8}[/tex].

Wiemy, że [tex]10\%[/tex] pieczywa z piekarni pierwszej jest z zakalcem, a z drugiej piekarni pieczywo z zakalcem to [tex]12\%[/tex]. Zatem prawdopodobieństwo zakupienia pieczywa z zakalcem wynosi:

[tex]P(C)=\frac{10}{100}*\frac{3}{8}+\frac{12}{100}*\frac{5}{8}=\frac{3}{80}+\frac{3}{40}=\frac{9}{80}[/tex].

Aby policzyć [tex]P(A|C)[/tex], musimy jeszcze znaleźć [tex]P(A \cap C)[/tex] - jest to prawdopodobieństwo zdarzenia, że pieczywo zakupione jest z pierwszej piekarni i jest z zakalcem:

[tex]P(A \cap C)=\frac{3}{8}*\frac{10}{100}=\frac{3}{80}[/tex].

Możemy policzyć teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, że zakupione pieczywo z zakalcem pochodzi z pierwszej piekarni:

[tex]P(A|C)=\frac{P(A \cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{3}{80}}{\frac{9}{80}}=\frac{3}{80}*\frac{80}{9}=\frac{1}{3}[/tex].