Odpowiedź:
[tex]x=-1 \vee x=0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$x^{3}= \lim_{y \to \infty} [(x+y)(y+x^{2})-y^{2}][/tex]
Zauważmy, że:
[tex](x+y)(y+x^{2})-y^{2}=xy+x^{3}+y^{2}+x^{2}y-y^{2}=x^{3}+x^{2}y+xy[/tex]
Zatem mamy:
[tex]$x^{3}= \lim_{y \to \infty} (x^{3}+x^{2}y+xy)[/tex]
[tex]$x^{3}= \lim_{y \to \infty} {x^{3} + \lim_{y \to \infty} (x^{2}y+xy)[/tex]
[tex]$x^{3}=x^{3}+ \lim_{y \to \infty} (x^{2}y+xy)[/tex]
[tex]$ \lim_{y \to \infty} [y(x^{2}+x)]=0[/tex]
Teraz sytuacja jest już prosta, gdyż tak naprawdę skupiamy się tylko na [tex]y[/tex], możemy potraktować [tex]x[/tex] jak stałą, parametr. Granica będzie równa zero, gdy:
[tex]x^{2}+x=0\\x(x+1)=0\\x=-1 \vee x=0[/tex]
