Rozwiązanie:
Obliczamy pochodne jednostronne funkcji z definicji w punkcie:
[tex]$x_{0}=\frac{4}{3}[/tex]
Mamy:
[tex]$f'(x_{0}^{-})= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} =\lim_{h \to 0^{-}} \frac{(\frac{4}{3} +h)^{2}+3(\frac{4}{3} +h)-4-(\frac{4}{3} )^{2}-3 \cdot \frac{4}{3} +4}{h} =[/tex]
[tex]$=\lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{16}{9}+ \frac{8}{3}h+h^{2}+4+3h-4-\frac{16}{9}-4+4 }{h}=\lim_{h \to 0^{-}} \frac{h^{2}+\frac{8}{3}h+3h }{h}=[/tex]
[tex]$=\lim_{h \to 0^{-}} (h+\frac{8}{3} +3)=\frac{17}{3}[/tex]
[tex]$f'(x_{0}^{+})=\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} =\lim_{h \to 0^{+}} \frac{(\frac{4}{3}+h)^{2}-3( \frac{4}{3}+h)+4-(\frac{4}{3} )^{2}+3 \cdot \frac{4}{3}-4 }{h} =[/tex][tex]$=\lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{16}{9}+\frac{8}{3}h +h^{2}-4-3h+4-\frac{16}{9}+4-4 }{h} =\lim_{h \to 0^{+}} \frac{h^{2}+\frac{8}{3}h-3h }{h} =[/tex]
[tex]$=\lim_{h \to 0^{+}} (h+\frac{8}{3} -3)=-\frac{1}{3}[/tex]
Pochodna lewostronna i prawostronna są różne, więc funkcja [tex]f(x)=x^{2}-|3x-4|[/tex] nie jest różniczkowalna w punkcie [tex]$x_{0}=\frac{4}{3}[/tex].
