Odpowiedź:
Zadanie 1 i 3 są identyczne, Zadanie 2 i 4 są identyczne, dlatego rozwiążę tylko 1 i 2 zadanie (na podstawie rozwiązania można podstawić do wzorów i rozwiązać zadanie 3 i 4 ;d)
Zadanie 1: k=500 N/m , W=0,1 J
Zadanie 2: końcowa długość sprężyny to 40 cm+8cm=48 cm
Wyjaśnienie:
1) Przy zmienianiu długości sprężyny działa siła sprężystości (jak sama nazwa wskazuje). Okazuje się, że siła, z którą na sprężynę działamy (F) jest wprost proporcjonalna do odkształcenia (Δl). Dlatego wykres zależności Δl(F) jest funkcją liniową, co widać na rysunku.
Jeśli mamy wielkości do siebie wprost proporcjonalne, to ich iloraz jest stały:
F/Δl=const (czyli dla danej sprężyny, jak zadziałamy większą siłą, to rozciągniemy sprężynę o tyle więcej). Mamy zatem jakąś stałą, zwaną współczynnikiem sprężystości (oznaczymy go jako k, bo tak się przyjęło, ale to tylko litera, dobra jak każda inna).
k=F/Δl (żeby to obliczyć, wystarczy spojrzeć na wykres i wybrać dowolny punkt na wykresie, odczytać wartość na osi X, czyli siłę F i wartość na osi Y czyli odkształcenie Δl; przykładowo: dla F=5 N mamy odkształcenie 1 cm, więc:
k= 5 N/ 1 cm
i tu uwaga, należy zamienić te centymetry na metry, by mieć wartości współczynnika k w jednostkach podstawowych; 1 cm to 0,01 m, zatem:
k=5 N/0,01 m=500 N/m
Pytają też o pracę wykonaną podczas rozciągania tej sprężyny o 2 cm. Praca jest równa sile pomnożonej razy przesunięcie (w tym wypadku przesunięcie końca sprężyny, za który ciągniemy) - ogólnie jest jeszcze ważny kąt między siłą a przesunięciem, ale tutaj mamy ten sam kierunek, więc pomijamy to.
Zatem praca to W=F_sr*Δl
I teraz uwaga. F_sr nie jest to to samo co odczytana F, użyta powyżej. Bo wraz rozciąganiem, zmienia się siła (nie jest ona stała, bo zależy od rozciągania; nie jest to ta sama sytuacja, w której mamy stałą siłę z którą ciągniemy sanki o jakąś odległość, tutaj siła nie jest STAŁA i F_sr=1/2 * (F_koncowa-F_poczatkowa)=1/2 * (F_koncowa - 0)=1/2 F_koncowa.
Biorąc Δl=2 cm i patrząc na wykres dla tego punktu widzimy, że F_koncowa wynosiła 10 N. Zamieńmy znów 2 cm na metry (0,02 m) i mamy, że praca
W=1/2 * 10 N*0,02 m = 0,1 J (bo dżul jest jednostką pracy i energii)
Można też to rozwiązać inaczej. Skoro praca siły wypadkowej i energia są sobie równe (wykonana praca jest kosztem energii, tutaj energii potencjalnej sprężystości), to W=ΔE_potencjalna_sprężystości. A ta energia to (wzór z podręcznika): 1/2 * k * Δl^2. Podstawiając dane (k=500 N/m, obliczone wyżej, Δl=0,02 m) mamy: 1/2 * 500 N/m * (0,02)^2 [m^2]=0,1 J
2) W tym zadaniu też będzie trzeba wyznaczyć współczynnik sprężystości k. Żeby to zrobić, trzeba rozrysować siły działające na ciężarek o masie m1=50 g (załącznik).
Skoro po zawieszeniu ciężarka o masie m1 sprężyna rozciągnęła się o 42-40=2 cm to działa tu siła sprężystości proporcjonalna do rozciągnięcia (tak jak w zadaniu 1, Fs=k*Δl). Ta siła nie jest jedyną siłą w układzie, działa też siła ciężkości masy zawieszonej na końcu Fc=m1*g, gdzie g to przyśpieszenie ziemskie, załóżmy że ok. 10 m/s^2. W zadaniu nie jest mowa o dalszym rozciąganiu sprężyny, zatem spoczywa ona mając na końcu zawieszoną masę, skoro spoczywa, to znaczy, że siły się równoważą, siła reakcji rozciągniętej sprężyny Fs i Fc:
Fs=Fc ----> k*Δl=m1*g -------> k=m1*g/Δl.
Dla danych w jednostkach podstawowych: 0,05 kg * 10 m/s^2 / 0,02 m =25 N/m
Mamy więc spręzynę o współczyniku sprężystości 25 N/m. On jest stały jeśli używamy tej samej spręzyny. Więc jeśli pytają nas o to jaka będzie długość sprężyny, dla 4 ciężarków (1 mamy + 3 nowe) o masie w sumie 4*m1=200 g=0,2 kg, to wystarczy znów przyrównać do siebie siły z nowymi danymi:
Fs=Fc ----> k*Δl_nowe=4*m1*g -------> Δl_nowe=4*m1*g/k (k jest zależne od sprężyny, a ona jest taka sama w obu częściach zadania 2).
Δl_nowe=0,2 kg * 10 m/s^2 / 25 N/m = 0,08 m.
Pytają nas dokładnie jaką będzie miała długość sprężyna, więc do 0,08 m należy dodać początkową długość sprężyny, czyli 0,4 m = 0,48 m.
