Rozwiązanie:
Wyrażenie:
[tex]n^{3}+3n^{2}-n+45[/tex]
Ustalmy liczbę nieparzystą [tex]2k+1[/tex] dla [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]. Wtedy mamy:
[tex](2k+1)^{3}+3(2k+1)^{2}-(2k+1)+45=[/tex]
[tex]=8k^{3}+12k^{2}+6k+1+12k^{2}+12k+3-2k-1+45=[/tex]
[tex]=8k^{3}+24k^{2}+16k+48[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]8k^{3}+24k^{2}+16k+48=8(k^{3}+3k^{2}+2k+6)=8(k+3)(k^{2}+2)[/tex]
Ta liczba na pewno jest podzielna przez [tex]8[/tex]. Pozostało pokazać, że dla dowolnego całkowitego [tex]k[/tex] ta liczba jest podzielna przez [tex]3[/tex]. Mamy możliwości:
Liczba [tex]k[/tex] jest postaci [tex]k=3t[/tex], gdzie [tex]t \in \mathbb{Z}[/tex]. Wtedy sprawa jest oczywista, bo czynnik [tex]k+3[/tex] jest postaci [tex]3t+3=3(t+1)[/tex], zatem jest podzielny przez [tex]3[/tex], a cała liczba przez [tex]24[/tex].
Liczba [tex]k[/tex] jest postaci [tex]k=3t+1[/tex], gdzie [tex]t \in \mathbb{Z}[/tex]. Wtedy mamy:
[tex]8(3t+4)(9t^{2}+6t+3)=8 \cdot 3 (3t+4)(3t^{2}+2t+1)=24(3t+4)(3t^{2}+2t+1)[/tex]
Zatem liczba jest podzielna przez [tex]24[/tex].
Liczba [tex]k[/tex] jest postaci [tex]k=3t+2[/tex], gdzie [tex]t \in \mathbb{Z}[/tex]. Wtedy mamy:
[tex]8(3t+5)(9t^{2}+12t+6)=8 \cdot 3(3t+5)(3t^{2}+4t+2)=24(3t+5)(3t^{2}+4t+2)[/tex]
Zatem liczba jest podzielna przez [tex]24[/tex].
To kończy nasz dowód o podzielności liczby [tex]n^{3}+3n^{2}-n+45[/tex] przez [tex]24[/tex] dla każdej nieparzystej liczby [tex]n[/tex].
