Zadanie 1
Ostrosłup jest prawidłowy, więc jego podstawą jest kwadrat. Liczymy długość krawędzi podstawy:
[tex]P_p=36\ [\text{cm}^2]\\\\P_p=a^2\\\\a^2=36\\\\a=6\ [\text{cm}][/tex]
Wysokość ostrosłupa:
[tex]H^2+3^2=5^2\\\\H^2+9=25\\\\H^2=16\\\\H=4\ [\text{cm}][/tex]
Objętość:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot4=\boxed{48\ [\text{cm}^3]}[/tex]
Pole powierzchni bocznej:
[tex]h=5\ [\text{cm}]\\\\P_b=4\cdot\dfrac{1}{2}ah=2ah=2\cdot6\cdot5=60\ [\text{cm}^2][/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_{pc}=P_p+P_b=36+60=\boxed{96\ [\text{cm}^2]}[/tex]
Zadanie 2
Miara kąta środkowego (AOB) jest 2 razy większa, niż miara kąta wpisanego (ACB), gdy kąty te są oparte na tym samym łuku.
Długość okręgu to:
[tex]\ell=2\pi r[/tex]
Zadany łuk stanowi 5/8 długości okręgu, czyli:
[tex]\dfrac{5}{8}\cdot 2\pi r=\dfrac{5\pi r}{4}[/tex]
Korzystamy ze wzoru na długość łuku i obliczamy miarę kąta środkowego AOB:
[tex]\dfrac{5\pi r}{4}=\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot 2\pi r\\\\\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}=\dfrac{5}{8}\\\\\boxed{\alpha=225^{\circ}}[/tex]
Stąd miara kąta wpisanego ACB to:
[tex]\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{225^{\circ}}{2}=\boxed{112,5^{\circ}}[/tex]
