Krótsza przyprostokątna w trójkącie ABC leży naprzeciw kąta o najmniejszej mierze -- czyli naprzeciw kąta BAC. Zatem jest to bok BC:
[tex]|BC|=6\ [\text{cm}][/tex]
W trójkącie, w którym miary kątów są równe 30°, 60°, 90°, długości boków wyrażają się w stosunku:
[tex]1:\sqrt{3}:2[/tex]
Wynika to z tego, że jest to połowa trójkąta równobocznego. Zatem długość odcinka CD jest 2 razy krótsza:
[tex]|CD|=\dfrac{|BC|}{2}=3\ [\text{cm}][/tex]
Natomiast długość wysokości BD to:
[tex]|BD|=|CD|\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ [\text{cm}][/tex]
Mamy:
[tex]|\sphericalangle BAC|=30^{\circ}[/tex],
ponieważ suma kątów w trójkącie ABC jest równa 180°. Ponadto BD to wysokość, zatem:
[tex]|\sphericalangle ADB|=90^{\circ}[/tex]
A stąd:
[tex]|\sphericalangle ABD|=60^{\circ}[/tex]
Zatem trójkąt ABD to także połowa trójkąta równobocznego, zatem długość odcinka AD jest równa:
[tex]|AD|=|BD|\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\cdot3=9\ [\text{cm}][/tex]
Liczymy pole trójkąta ABD:
[tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot |AD|\cdot|BD|=\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot3\sqrt{3}=\boxed{\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\ [\text{cm}^2]}[/tex]
