Zadanie 1
[tex]\vec{u}=[2,5]\\\\\vec{v}=[\sqrt{28},5\sqrt{7}][/tex]
Wektory są równoległe, gdy istnieje niezerowa stała k taka, że:
[tex]\vec{v}=k\cdot \vec{u}[/tex]
Równoległość można sprawdzić na kilka sposobów:
Pierwszy sposób:
Sprawdzamy, że:
[tex]\dfrac{\sqrt{28}}{2}=\dfrac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}\\\\\dfrac{5\sqrt{7}}{5}=\sqrt{7}[/tex]
Ilorazy poszczególnych współrzędnych są równe, więc:
[tex]k=\sqrt{7}\\\\\vec{v}=\sqrt{7}\cdot\vec{u}[/tex]
Zatem wektory te są równoległe.
Drugi sposób:
Liczymy iloczyn wektorowy:
[tex]\vec{u}\times\vec{v}=\begin{array}{|ccc|}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&5&0\\2\sqrt{7}&5\sqrt{7}&0\end{array}=\\\\\\=[5\cdot0-0\cdot5\sqrt{7},0\cdot2\sqrt{7}-2\cdot0,2\cdot5\sqrt{7}-5\cdot2\sqrt{7}]=\vec{0}[/tex]
Jeżeli wychodzi wektor zerowy, to wektory są równoległe.
Trzeci sposób:
Liczymy kąt między wektorami:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=\dfrac{2\cdot2\sqrt{7}+5\cdot5\sqrt{7}}{\sqrt{4+25}\cdot\sqrt{28+175}}=\\\\\\=\dfrac{29\sqrt{7}}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{203}}=\dfrac{29}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{29}}=\dfrac{29}{29}=1[/tex]
Otrzymaliśmy 1, więc wektory są równoległe.
Zadanie 2
[tex]\vec{u}=[2\sqrt{3},-9]\\\\\vec{v}=[9,\sqrt{12}][/tex]
Prostopadłość również można sprawdzić na kilka sposobów:
Pierwszy sposób:
Liczymy iloczyn skalarny wektorów:
[tex]\vec{u}\circ\vec{v}=[2\sqrt{3},-9]\circ[9,\sqrt{12}]=2\sqrt{3}\cdot9+(-9)\cdot\sqrt{12}=\\\\=18\sqrt{3}-9\sqrt{4\cdot3}=18\sqrt{3}-9\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=18\sqrt{3}-18\sqrt{3}=0[/tex]
Wychodzi 0, więc wektory są prostopadłe.
Drugi sposób:
Analogicznie można to policzyć, korzystając ze wzoru z trzeciego sposobu w poprzednim zadaniu -- wówczas licznik wyjdzie 0, więc kąt między wektorami spełnia zależność:
[tex]\cos\alpha=0[/tex]
Zatem wektory są prostopadłe.
Trzeci sposób:
Wyznaczamy współczynniki kierunkowe prostych wyznaczonych przez te wektory:
[tex]a_u=\dfrac{-9}{2\sqrt{3}}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\\\a_v=\dfrac{\sqrt{12}}{9}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}[/tex]
Sprawdzamy, że ich iloczyn jest równy -1:
[tex]a_u\cdot a_v=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{9}=-\dfrac{18}{18}=-1[/tex]
Zatem wektory są prostopadłe.
Zadanie 3
[tex]\vec{u}=[3a,-2a]\\\\\vec{v}=\Big[\dfrac{a}{4},-\dfrac{a}{6}\Big][/tex]
Sprawdzimy równoległość, korzystając z najprostszego warunku:
[tex]\dfrac{3a}{\frac{a}{4}}=\dfrac{12a}{a}=12\\\\\dfrac{-2a}{-\frac{a}{6}}=\dfrac{12a}{a}=12[/tex]
Stąd:
[tex]\vec{u}=12\cdot\vec{v}[/tex]
Wektory są równoległe.
