Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{3}{2x^{2}+x+2}[/tex]
[tex]1.[/tex] Dziedzina:
[tex]$\bigwedge\limits^{}_{x \in \mathbb{R}} 2x^{2}+x+2>0 \Rightarrow D=\mathbb{R}[/tex]
[tex]2.[/tex] Miejsca zerowe:
Funkcja nie ma miejsc zerowych, gdyż mianownik jest różny od zera (a nawet dodatni), a licznik jest liczbą.
[tex]3.[/tex] Punkt przecięcia z osią [tex]OY[/tex] :
[tex]P=(0,f(0))[/tex]
[tex]$f(0)=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]$P=(0,\frac{3}{2} )[/tex]
[tex]4.[/tex] Granice na krańcach dziedziny (tutaj w nieskończonościach):
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{2x^{2}+x+2} =\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x^{2}(2+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}) } =[\frac{3}{\infty} ] =0[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{3}{2x^{2}+x+2} =[\frac{3}{\infty} ]=0[/tex]
[tex]5.[/tex] Asymptoty:
Mianownik nie zeruje się, więc wykres funkcji nie ma asymptot pionowych. Na podstawie punktu [tex]4.[/tex] stwierdzamy, że prosta [tex]y=0[/tex] jest asymptotą wykresu funkcji [tex]f[/tex] w [tex]\pm \infty[/tex].
[tex]6[/tex]. Przedziały monotoniczności:
Obliczamy pochodną funkcji:
[tex]$f'(x)=\frac{-3(4x+1)}{(2x^{2}+x+2)^{2}} =-\frac{12x+3}{(2x^{2}+x+2)^{2}}[/tex]
Zerujemy ją:
[tex]$-\frac{12x+3}{(2x^{2}+x+2)^{2}} =0 \iff 12x+3=0[/tex]
[tex]$x=-\frac{1}{4}[/tex]
Znak mianownika jest zawsze dodatni, więc:
[tex]$f'(x)>0 \iff x \in (-\infty,-\frac{1}{4} )[/tex]
[tex]$f'(x)<0 \iff x \in (-\frac{1}{4} ,\infty)[/tex]
Zatem:
Funkcja [tex]f[/tex] jest malejąca w przedziale [tex]${data-answer}lt;-\frac{1}{4} ,\infty)[/tex] oraz rosnąca w przedziale [tex]$(-\infty,-\frac{1}{4} >[/tex].
[tex]7[/tex]. Ekstrema:
Na podstawie powyższego łatwo stwierdzić, że funkcja [tex]f[/tex] osiąga ekstremum będące maksimum lokalnym w punkcie [tex]$x=-\frac{1}{4}[/tex] równe:
[tex]$f(-\frac{1}{4} )=\frac{8}{5}[/tex]
[tex]8[/tex]. Przedziały wklęsłości i wypukłości:
Obliczamy drugą pochodną funkcji [tex]f[/tex]:
[tex]$f''(x)=-\frac{12(2x^{2}+x+2)^{2}-2(2x^{2}+x+2)(4x+1)(12x+3)}{(2x^{2}+x+2)^{4}}[/tex]
Funkcja jest wypukła jeśli [tex]f''(x)>0[/tex], a więc:
[tex]$f''(x)>0 \iff -\frac{12(2x^{2}+x+2)^{2}-2(2x^{2}+x+2)(4x+1)(12x+3)}{(2x^{2}+x+2)^{4}}>0[/tex]
czyli:
[tex]-12(2x^{2}+x+2)^{2}+2(2x^{2}+x+2)(4x+1)(12x+3)>0[/tex]
[tex]2(2x^2+x+2)(-6(2x^{2}+x+2)+(4x+1)(12x+3))>0[/tex]
[tex]2(2x^{2}+x+2)(36x^{2}+18x-9)>0[/tex]
[tex]36x^{2}+18x-9>0[/tex]
[tex]4x^{2}+2x-1>0[/tex]
[tex]\Delta=4-4 \cdot 4 \cdot (-1)=20[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{-2+2\sqrt{5} }{8} =\frac{-1+\sqrt{5} }{4}[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{-2-2\sqrt{5} }{8} =\frac{-1-\sqrt{5} }{4}[/tex]
[tex]$x \in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{5} }{4} ) \cup (\frac{-1+\sqrt{5} }{4} ,\infty)[/tex]
Oczywiste jest, że [tex]f''(x)<0[/tex] w przedziale [tex]$x \in (\frac{-1-\sqrt{5} }{4} ,\frac{-1+\sqrt{5} }{4} )[/tex]. Zatem funkcja jest wklęsła w tym przedziale.
[tex]9[/tex]. Punkty przegięcia:
Miejsca zerowe drugiej pochodnej już obliczyliśmy w punkcie [tex]8.[/tex] :
[tex]$x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5} }{4}[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5} }{4}[/tex]
Z powyższych rozważań wiadomo też, że pochodna drugiego rzędu zmienia znak przy przejściu przez te punkty, więc są one punktami przegięcia funkcji [tex]f[/tex]. Liczymy ich wartości:
[tex]$P_{1}=(\frac{-1-\sqrt{5} }{4},\frac{6}{5} )[/tex]
[tex]$P_{2}=(\frac{-1+\sqrt{5} }{4},\frac{6}{5} )[/tex]
Na koniec szkicujemy wykres funkcji [tex]f[/tex] (załącznik) i odczytujemy zbiór wartości:
[tex]$W_{f}=(0,\frac{8}{5} >[/tex]
