Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Jest to nierówność IV stopnia czyli podwójnie kwadratowa. Możemy ją rozwiązać wprowadzając zmienną pomocniczą bądź za pomocą odpowiednich przekształceń.
Wybierzemy rozwiązanie za pomocą zmiennej pomocniczej:
[tex]x^4-5x^2+4<0\\\\t=x^2\\\\t^2-5t+4<0\\\\a=1;\ b=-5;\ c=4\\\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9\\\sqrt\Delta=3\\\\t_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-5)-3}{2\cdot1}=\dfrac{5-3}{2}=\dfrac22=1\\t_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-5)+3}{2\cdot1}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac82=4\\[/tex]
mając wyznaczone t1 i t2 podstawiamy do naszej zmiennej pomocniczej i otrzymamy:
[tex]t=t_1\\x^2=1\\x^2-1=0\\(x-1)(x+1)=0\\\\x=-1\ \vee\ x=1\\\\t=t_2\\x^2=4\\x^2-4=0\\(x-2)(x+2)=0\\\\x=-2\ \vee \ x=2[/tex]
Obliczyliśmy miejsca zerowe naszej funkcji podstawowej. Ale mamy nierówność,, czyli mamy znaleźć wszystkie iksy, które leżą POD OSIĄ OX (wynika to ze znaku nierówności). Widzimy, że przy x^4 jest współczynnik dodatni, stąd ramiona tej funkcji (jest to funkcja podwójnie kwadratowa) skierowane są do góry i przechodzą naprzemiennie przez punkty -2, -1, 1, 2. Zatem rozwiązaniem jest przedział:
[tex]x\in(-2;-1)\cup(1;2)[/tex]
W załączeniu wykres tej funkcji w celu wyobrażenia jak przebiega. TO, co jest poniżej osi OX to właśnie przedziały naszej nierówności.
