Sprawdzimy najpierw, że nierówność zachodzi dla x = 1. Mamy:
[tex](1-1)^n\leq 1-n+\dfrac{n(n-1)}{2}\\\\0^n\leq\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{3}{2}n+1\\\\n^2-3n+2\geq0\\\\n^2-n-2n+2\geq0\\\\n(n-1)-2(n-1)\geq0\\\\(n-1)(n-2)\geq0\\\\n\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)[/tex]
Zatem w szczególności nierówność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych większych od 0.
Sprawdzamy, że nierówność jest spełniona dla n = 1:
[tex](1-x)^1\leq1-x+\dfrac{1\cdot0}{2}x^2\\\\1-x\leq1-x\\\\0\leq0[/tex]
Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x. Założenie indukcyjne:
[tex](1-x)^k\leq 1-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2[/tex]
Pokażemy, że:
[tex](1-x)^{k+1}\leq1-(k+1)x+\dfrac{(k+1)k}{2}x^2[/tex]
Przekształcamy tezę równoważnie:
[tex](1-x)^k(1-x)\leq 1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+\dfrac{2k}{2}x^2\\\\(1-x)^k(1-x)\leq1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+kx^2\quad\quad(*)[/tex]
Lemat:
Pokażemy, że zachodzi nierówność:
[tex]\Big(1-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2\Big)(1-x)\leq1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+kx^2\\\\\\1-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2-x+kx^2-\dfrac{k(k-1)}{2}x^3\leq1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+kx^2\\\\\\-\dfrac{k(k-1)}{2}x^3\leq0\\\\\\k(k-1)x^3\geq0\\\\\\x^3\geq0\quad\text{dla }\ k\in\mathbb{N}[/tex]
Nierówność jest spełniona dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych.
Koniec lematu.
Na podstawie założenia indukcyjnego mamy:
[tex](1-x)^k(1-x)\leq\Big(1-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2\Big)(1-x)\quad\text{dla }\ x <1[/tex]
Na podstawie lematu mamy:
[tex]\Big(1-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2\Big)(1-x)\leq1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+kx^2\\\\\\\text{dla }\ x\in\langle0,+\infty)[/tex]
Stąd:
[tex](1-x)^k(1-x)\leq1-x-kx+\dfrac{k(k-1)}{2}x^2+kx^2\quad\text{dla }\ x\in\langle0,1)[/tex]
Wobec tego pokazaliśmy (*), czyli równoważną postać tezy indukcyjnej.
