Rozwiązanie:
Mamy pokazać, że:
[tex]$\forall n \in \mathbb{N} \ \sum\limits^{n}_{k=1}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Czyli, że:
[tex]$1-4+9-16+25-36+...+(-1)^{n-1}n^{2}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Dowód przeprowadzimy indukcyjnie. Najpierw sprawdzamy, czy równość zachodzi dla [tex]n=1[/tex] :
[tex]$(-1)^{1-1} \cdot 1^{2}=(-1)^{1-1} \cdot \frac{1(1+1)}{2} \\[/tex]
[tex]1=1[/tex]
[tex]L=P[/tex]
Zatem dla [tex]n=1[/tex] równość jest prawdziwa. Teraz załóżmy, że równość zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej [tex]n[/tex]. Do obu stron równości dodajemy [tex](-1)^{n}(n+1)^{2}[/tex] :
[tex]$1-4+9-16+...+(-1)^{n-1}n^{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}[/tex]
Przekształcając prawą stronę:
[tex]$(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}=(-1)^{n}(n+1)[-\frac{n}{2}+(n+1)]=[/tex]
[tex]$=(-1)^{n}(n+1)(\frac{n}{2}+1 )=(-1)^{n} \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]
Ta równość różni się od równości, którą chcemy dowieść tylko tym, że mamy w niej [tex]n+1[/tex] zamiast [tex]n[/tex]. Zatem możemy powiedzieć, że na mocy zasady indukcji matematycznej równość jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej [tex]n[/tex], co kończy dowód.
