Odpowiedź:
[tex]cos\alpha =\frac{5}{6}\\\frac{b}{c}=\frac{5}{6}\\b=5\\c=6[/tex]
z tw. Pitagorasa
[tex]a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}[/tex]
[tex]sin\alpha =\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{11}}{6}\\tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{11}}{5}\\ctg\alpha=\frac{b}{a}=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Jeśli kąt jest kątem ostrym to jest w I ćwiartce. A w niej wszystkie kąty są dodatnie.
Wiedząc powyższe oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej wyznaczymy sinus tego kąta:
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha\\\\sin^2\alpha=1-(\frac56)^2\\\\sin^2\alpha=1-\frac{25}{36}\\\\sin^2\alpha=\frac{36}{36}-\frac{25}{36}\\\\sin^2\alpha=\frac{11}{36}\\\\sin\alpha=\sqrt{\frac{11}{36}}=\frac{\sqrt{11}}{6}\ \vee\ sin\alpha=-\frac{\sqrt{11}}{6}\\[/tex]
Wartość ujemną sinusa odrzucamy, gdyż kąt jest w I ćwiartce (czyli wszystkie wartości trygonometryczne kąta są dodatnie).
Tangens kąta wyznaczymy z zależności:
[tex]tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt{11}}{6}}{\frac56}=\frac{\sqrt{11}}{6}\cdot\frac65=\frac{\sqrt{11}}{5}[/tex]
Cotangens kąta obliczymy z zależności:
[tex]tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}\\\\ctg\alpha=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{11}}{5}}=\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}[/tex]
Zatem nasze kąty mają miary:
[tex]sin\alpha=\frac{\sqrt{11}}{6}\\\\cos\alpha=\frac56\\\\tg\alpha=\frac{\sqrt{11}}{5}\\\\ctg\alpha=\frac{5\sqrt{11}}{11}[/tex]