Odpowiedź:
[tex]\bold{\,x\in (-\infty\,;-3)\cup(1\,;\infty)\,}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
3x - 1 = 0 ⇔ x = ¹/₃
2x + 8 = 0 ⇔ x = -4
Mamy dwie różne liczby zerujące wyrażenia w wartościach bezwzględnych, czyli nierówność rozpatrujemy w trzech przedziałach:
(-∞, -4), <-4, ¹/₃) oraz <¹/₃, ∞)
1° x∈(-∞, -4)
Czyli: 3x - 1 < 0 ⇒ |3x - 1| = -3x + 1
2x + 8 < 0 ⇒ |2x+8| = -2x - 8
Zatem:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\-3x+1-2x-8>12\\\\-5x>19\qquad/:(-5)\\\\x<-\dfrac{19}{5}\\\\x<-3\frac45\quad\wedge\quad x\in(-\infty\,;-4)\\\\ x\in(-\infty\,;-4)[/tex]
2° x∈<-4, ¹/₃)
Czyli: 3x - 1 < 0 ⇒ |3x - 1| = -3x + 1
2x + 8 ≥ 0 ⇒ |2x+8| = 2x + 8
Zatem:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\-3x+1+2x+8>12\\\\-x>3\qquad/:(-1)\\\\x<-3\\\\x<-3\quad\wedge\quad x\in\big<-4\,,\frac13)\\\\ x\in\big<-4\,;-3)[/tex]
3° x∈<¹/₃, ∞)
Czyli: 3x - 1 ≥ 0 ⇒ |3x - 1| = 3x - 1
2x + 8 > 0 ⇒ |2x+8| = 2x + 8
Zatem:
[tex]|3x - 1| + |2x +8| >12\\\\3x-1+2x+8>12\\\\5x>5\qquad/:5\\\\x>1\\\\x>1\quad\wedge\quad x\in\big<\frac13\,;\infty)\\\\ x\in\big(1\,;\infty)[/tex]
Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań poszczególnych przypadków, czyli:
[tex]x\in (-\infty\,;-4)\cup\big<-4\,;-3)\cup(1\,;\infty)\\\\\underline{\,\underline{\,x\in (-\infty\,;-3)\cup(1\,;\infty)\,}\,}[/tex]
