Figura:
[tex]x^2+y^2=m[/tex]
to w zależności od parametru m:
a) zbiór pusty dla m < 0,
b) punkt o współrzędnych (0, 0) dla m = 0,
c) okrąg o środku w punkcie (0, 0) oraz promieniu równym pierwiastek z m dla m > 0.
Wyznaczymy najpierw odległość prostej y = 2x + 1 od początku układu współrzędnych:
[tex]Ax+By+C=0,\ P=(x_0,y_0)\\\\d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\\\\\y=2x+1\\\\2x-y+1=0\\\\A=2,\ B=-1,\ C=1,\ P=(0,0)\\\\d=\dfrac{|2\cdot0+(-1)\cdot0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
Stąd wniosek, że:
1) Układ nie ma rozwiązań, gdy:
[tex]m\in\Big(-\infty,\dfrac{1}{5}\Big)[/tex]
2) Układ ma jedno rozwiązanie, gdy:
[tex]m=\dfrac{1}{5}[/tex]
3) Układ ma 2 rozwiązania, gdy:
[tex]m\in\Big(\dfrac{1}{5},+\infty\Big)[/tex]
---------------------------------------------------------------
Inne rozwiązanie -- wstawiamy y do pierwszego równania:
[tex]x^2+(2x+1)^2=m\\\\x^2+4x^2+4x+1=m\\\\5x^2+4x+1-m=0\\\\a=5,\ b=4,\ c=1-m\\\\\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot5\cdot(1-m)=16-20+20m=20m-4[/tex]
Układ nie ma rozwiązań, gdy:
[tex]\Delta < 0\\\\20m-4<0\\\\m<\dfrac{1}{5}[/tex]
Układ ma jedno rozwiązanie, gdy:
[tex]\Delta = 0\\\\20m-4=0\\\\m=\dfrac{1}{5}[/tex]
Układ ma 2 rozwiązania, gdy:
[tex]\Delta > 0\\\\20m-4>0\\\\m>\dfrac{1}{5}[/tex]