Przekształcamy wzór funkcji tak, aby można było odczytać wektor przesunięcia:
[tex]f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}=\dfrac{2(x+1)+1}{x+1}=2+\dfrac{1}{x+1}[/tex]
Stąd już widzimy, że wykres funkcji f powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji:
[tex]y=\dfrac{1}{x}[/tex]
o wektor:
[tex]\boxed{\vec{u}=[-1,2]}[/tex]
Rysujemy wykres tej funkcji oraz przesuwamy go o jedną jednostkę w lewo oraz dwie jednostki w górę (wykres w załączniku).
Dziedzina funkcji:
[tex]\text{D}\colon\\\\x+1\neq0\\\\x\neq-1\\\\\boxed{\text{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}}[/tex]
Zbiór wartości:
Na podstawie przekształconego wykresu funkcji f wnioskujemy, że funkcja nie może przyjmować wartości 2. Zatem:
[tex]\boxed{\text{ZW}=\mathbb{R}\setminus\{2\}}[/tex]
Asymptoty:
[tex]\boxed{y=2}\ -\ \text{asymptota pozioma}\\\\\boxed{x=-1}\ -\ \text{asymptota pionowa}[/tex]
Monotoniczność:
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów:
[tex]\boxed{(-\infty,-1),\ (-1,+\infty)}[/tex]
Zauważmy przy okazji, że funkcja nie jest malejąca w sumie przedziałów.
Wartości dodatnie i ujemne:
Z wykresu odczytujemy, że:
[tex]f(x)>0\quad\iff\quad \boxed{x\in\Big(-\infty,-\dfrac{3}{2}\Big)\cup\Big(-1,+\infty\Big)}\\\\\\f(x)<0\quad\iff\quad \boxed{x\in\Big(-\dfrac{3}{2},-1\Big)}[/tex]
