Liczba [tex]\sqrt{2} +\sqrt{5}[/tex] jest liczbą niewymierną
Dowód :
Załóżmy, że [tex]x=\sqrt{2} +\sqrt{5}[/tex], oraz [tex]x \in Q[/tex] ( że jest to liczba wymierna)
Wtedy :
[tex]x^{2} =2+2\sqrt{10} +5=7+2\sqrt{10}[/tex]
[tex]x^{2} -7=2\sqrt{10}[/tex]
[tex]\frac{x^2-7}{2} =\sqrt{10}[/tex]
Pokażemy teraz że [tex]\sqrt{10}[/tex] jest liczbą niewymierną. W tym celu, podobnie jak wyżej założymy że [tex]\sqrt{10}[/tex] jest liczbą wymierną. Przyjmijmy również, że [tex]y=\sqrt{10}[/tex].
Wtedy :
[tex]y=\sqrt{10} =\frac{m}{n}[/tex] , gdzie (m,n)=1 ( m oraz n są względnie pierwsze).
[tex]\sqrt{10}=\frac{m}{n}[/tex]
[tex]\sqrt{10}n=m[/tex]
[tex]10n^2=m^2[/tex]
Stad wynika, że 10|m ( m jest podzielne przez 10) czyli można zapisać jako :
[tex]m=10k[/tex]
Z drugiej strony :
[tex]10n^2=(10k)^2[/tex]
[tex]10n^2=100k^2[/tex]
[tex]n^2=10k^2[/tex]
Zatem 10|n ( 10 dzieli n) co stoi w sprzeczności z założeniem że liczby m oraz n są względnie pierwsze ( że ich jedynym dzielnikiem jest liczba 1).
Czyli liczba [tex]\sqrt{2} +\sqrt{5}[/tex] jest niewymierna.
C.N.D
