Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy W(3) = 0. Stąd:
[tex]W(3)=3^4+(a+b)\cdot3^3+(a-b)\cdot3^2-6\cdot3+9=\\\\=81+27(a+b)+9(a-b)-18+9=\\\\=27a+27b+9a-9b+72=\\\\=36a+18b+72\\\\W(3)=0\\\\36a+18b+72=0\\\\2a+b+4=0\\\\b=-2a-4[/tex]
Dzielimy wielomian W(x) przez (x - 3), korzystając ze schematu Hornera:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}&a_4&a_3&a_2&a_1&a_0\\a&&&&&\\&a_4&&&&\end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}&1&a+b&a-b&-6&9\\3&&3&3a+3b+9&12a+6b+27&36a+18b+63\\&1&a+b+3&4a+2b+9&12a+6b+21&36a+18b+72\end{array}[/tex]
Otrzymujemy wielomian:
[tex]Q(x)=x^3+(a+b+3)x^2+(4a+2b+9)x+12a+6b+21[/tex]
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x), gdy Q(3)=0. Stąd:
[tex]Q(3)=27+9(a+b+3)+3(4a+2b+9)+12a+6b+21=\\\\=27+9a+9b+27+12a+6b+27+12a+6b+21=\\\\=33a+21b+102\\\\Q(3)=0\\\\33a+21b+102=0\\\\33a+21(-2a-4)+102=0\\\\33a-42a-84+102=0\\\\-9a+18=0\\\\a=2\\\\b=-2a-4=-2\cdot2-4=-8[/tex]
Wtedy mamy:
[tex]Q(x)=x^3-3x^2+x-3\\\\Q(x)=x^2(x-3)+(x-3)\\\\Q(x)=(x-3)(x^2+1)[/tex]
Zatem:
[tex]W(x)=(x-3)^2(x^2+1)[/tex]
Czyli liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) dla:
[tex]\boxed{\left \{\begin{array}{l} {{a=2} \\ {b=-8}} \end{array}\right.}[/tex]