Odpowiedź:
[tex]$y(x)=(x+1)^{2}\Big(\frac{x^{2}}{2}+x+C \Big)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$\frac{dy}{dx} -\frac{2y}{x+1} =(x+1)^{3}[/tex]
To jest równanie liniowe pierwszego rzędu. Rozwiążemy je metodą czynnika całkującego. Łatwo widać, że:
[tex]$\mu (x)=\exp \Big(\int {-\frac{2}{x+1} } \, dx }\Big)=\exp\Big(-2\int {\frac{dx}{x+1} }\Big)=\exp(-2\ln(x+1))=(x+1)^{-2}=[/tex]
[tex]$=\frac{1}{(x+1)^{2}}[/tex]
Mnożymy równanie obustronnie przez czynnik całkujący:
[tex]$\frac{1}{(x+1)^{2}} \cdot \frac{dy}{dx} -\frac{2}{(x+1)^{3}} \cdot y =x+1[/tex]
Równanie przyjmuje postać:
[tex]$\frac{d}{dx} \Big( \frac{y}{(x+1)^{2}} \Big)=x+1[/tex]
Całkujemy obustronnie:
[tex]$\frac{y}{(x+1)^{2}}=\int {x+1} \, dx[/tex]
[tex]$\frac{y}{(x+1)^{2}} =\frac{x^{2}}{2} +x+C[/tex]
[tex]$y(x)=(x+1)^{2}\Big(\frac{x^{2}}{2}+x+C \Big)[/tex]
