Mamy funkcję:
[tex]G(s)=\dfrac{2s+1}{(s+2)(s^2+8s+16)}=\dfrac{2s+1}{(s+2)(s+4)^2}[/tex]
Będziemy mieli rozkład:
[tex]G(s)=\dfrac{A}{s+2}+\dfrac{B}{s+4}+\dfrac{C}{(s+4)^2}[/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac{2s+1}{(s+2)(s+4)^2}=\dfrac{A}{s+2}+\dfrac{B}{s+4}+\dfrac{C}{(s+4)^2}\\\\\\2s+1=A(s+4)^2+B(s+2)(s+4)+C(s+2)[/tex]
Wstawiamy do tej równości s = -4:
[tex]-7=0+0+C\cdot(-2)\\\\-2C=-7\\\\C=\dfrac{7}{2}[/tex]
Wstawiamy do równości s = -2:
[tex]-3=A\cdot2^2+0+0\\\\4A=-3\\\\A=-\dfrac{3}{4}[/tex]
Wstawiamy do równości np. s = 0:
[tex]1=A\cdot4^2+B\cdot2\cdot4+C\cdot2\\\\1=16A+8B+2C\\\\1=16\cdot\Big(-\dfrac{3}{4}\Big)+8B+2\cdot\dfrac{7}{2}\\\\1=-12+8B+7\\\\1=8B-5\\\\8B=6\\\\B=\dfrac{3}{4}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\boxed{G(s)=\dfrac{-\frac{3}{4}}{s+2}+\dfrac{\frac{3}{4}}{s+4}+\dfrac{\frac{7}{2}}{(s+4)^2}}[/tex]
