Argument główny podstawy potęgi w liczniku:
[tex]z_1=-\sqrt{12}+2i=-2\sqrt{3}+2i\\\\|z_1|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4\\\\z_1=4\cdot\Big[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\Big][/tex]
Cosinus jest ujemny, a sinus dodatni, więc kąt jest w II ćwiartce. Stąd:
[tex]\sin\varphi_1=\dfrac{1}{2}\\\\\varphi_1=\dfrac{5\pi}{6}[/tex]
Argument główny licznika:
Na podstawie wzoru de Moivre'a:
[tex]\text{Arg }(-\sqrt{12}+2i)^{28}=\dfrac{5\pi}{6}\cdot28\ (\text{mod }2\pi)=\boxed{\dfrac{4\pi}{3}}[/tex]
Argument główny podstawy potęgi w mianowniku:
[tex]z_2=\sin\dfrac{\pi}{3}-i\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\|z_2|=\sqrt{\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2+\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\\\\z_2=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\Big[\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big][/tex]
Cosinus jest dodatni, a sinus ujemny, więc kąt należy do IV ćwiartki. Stąd:
[tex]\cos\varphi_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\varphi_2=\dfrac{7\pi}{4}[/tex]
Argument główny mianownika:
Na podstawie wzoru de Moivre'a:
[tex]\text{Arg }\Big(\sin\dfrac{\pi}{3}-\cos\dfrac{\pi}{6}\Big)^{18}=\dfrac{7\pi}{4}\cdot18\ (\text{mod }2\pi)=\boxed{\dfrac{3\pi}{2}}[/tex]
Przy dzieleniu liczb zespolonych odejmujemy ich argumenty, więc szukany argument jest równy:
[tex]\Big(\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{3\pi}{2}\Big)\ (\text{mod }2\pi)=-\dfrac{\pi}{6}\ (\text{mod }2\pi)=\boxed{\dfrac{11\pi}{6}}[/tex]
