Rozwiązanie:
Najpierw skupmy się na pierwszej części. Pokażemy, że:
[tex]$\Big(\frac{n}{3}\Big)^{n} \leq n! \ \ \bigwedge\limits^{}_{n \geq 6}}[/tex]
Dowód będzie indukcyjny. Najpierw sprawdzamy, czy nierówność zachodzi dla [tex]n=6[/tex] :
[tex]$\Big(\frac{6}{3}\Big)^{6} =2^{6}=64\leq 6!=720[/tex]
Założenie indukcyjne:
[tex]$\Big(\frac{n}{3}\Big)^{n} \leq n![/tex]
dla pewnego [tex]n[/tex] naturalnego takiego, że [tex]n\geq 6[/tex].
Teza indukcyjna:
[tex]$\Big(\frac{n+1}{3} \Big)^{n+1}\leq (n+1)![/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$(n+1)!=n! \cdot (n+1)\geq \Big(\frac{n}{3} \Big)^{n} \cdot (n+1)\geq \Big(\frac{n+1}{3} \Big)^{n+1}[/tex]
Dalej mamy:
[tex]$\Big(\frac{n}{3} \Big)^{n+1} \cdot 3\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\geq \Big(\frac{n+1}{3} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$3\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\geq \Big(\frac{\frac{n+1}{3} }{\frac{n}{3} } \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$3\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\geq \Big(\frac{n+1}{n} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$3\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\geq \Big(1+\frac{1}{n} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$3\geq \Big(1+\frac{1}{n} \Big)^{n} \rightarrow e[/tex]
A to jest już oczywiste. Zatem na mocy indukcji matematycznej wykazaliśmy, iż:
[tex]$\Big(\frac{n}{3}\Big)^{n} \leq n! \ \ \bigwedge\limits^{}_{n \geq 6}}[/tex]
Teraz popatrzmy na drugą część. Pokażemy, że:
[tex]$n!\leq \Big(\frac{n}{2} \Big)^{n} \ \ \bigwedge\limits^{}_{n \geq 6}}[/tex]
Dowód będzie indukcyjny. Najpierw sprawdzamy, czy nierówność zachodzi dla [tex]n=6[/tex] :
[tex]$6!=720\leq \Big(\frac{6}{2} \Big)^{6}=3^{6}=729[/tex]
Założenie indukcyjne:
[tex]$n!\leq \Big(\frac{n}{2} \Big)^{n}[/tex]
dla pewnego [tex]n[/tex] naturalnego takiego, że [tex]n\geq 6[/tex].
Teza indukcyjna:
[tex]$(n+1)!\leq \Big(\frac{n+1}{2} \Big)^{n+1}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$(n+1)!=n! \cdot (n+1)\leq \Big(\frac{n}{2} \Big)^{n} \cdot (n+1)\leq \Big(\frac{n+1}{2} \Big)^{n+1}[/tex]
Dalej mamy:
[tex]$\Big(\frac{n}{2} \Big)^{n+1} \cdot 2\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\leq \Big(\frac{n+1}{2} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$2\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\leq \Big(\frac{\frac{n+1}{2} }{\frac{n}{2} } \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$2\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\leq \Big(\frac{n+1}{n} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$2\Big(1+\frac{1}{n} \Big)\leq \Big(1+\frac{1}{n} \Big)^{n+1}[/tex]
[tex]$2\leq \Big(1+\frac{1}{n} \Big)^{n} \rightarrow e[/tex]
A to jest już oczywiste. Zatem na mocy indukcji matematycznej wykazaliśmy, iż:
[tex]$n!\leq \Big(\frac{n}{2} \Big)^{n} \ \ \bigwedge\limits^{}_{n \geq 6}}[/tex]
Konkluzja:
[tex]$\Big(\frac{n}{3}\Big)^{n} \leq n!\leq \Big(\frac{n}{2} \Big)^{n} \ \ \bigwedge\limits^{}_{n\geq 6}[/tex]
