Najpierw uprościmy tę funkcję. Zaczniemy od zapisania licznika ułamka w postaci iloczynowej:
[tex]y=x^2-5x+6\\\\a=1,\ b=-5,\ c=6\\\\\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\\\\\sqrt{\Delta}=1\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-1}{2}=2\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+1}{2}=3\\\\y=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\y=(x-2)(x-3)[/tex]
Pierwszy wzór mamy określony dla x=/=2, zatem możemy skrócić ułamek:
[tex]y=\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3[/tex]
Z kolei druga funkcja określona jest tylko dla x = 2, więc jest to:
[tex]y=2a\cdot2-3=4a-3[/tex]
Zatem mamy funkcję:
[tex]f(x)=\left \{\begin{array}{ll} {{x-3&\quad\text{dla }\ x\neq2} \\ {4a-3&\quad\text{dla }\ x=2}} \end{array}\right.[/tex]
Warunek ciągłości w punkcie x = 2:
[tex]\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)[/tex]
Lewa strona to:
[tex]\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}(x-3)=2-3=-1[/tex]
Prawa strona:
[tex]f(2)=4a-3[/tex]
Wobec tego:
[tex]-1=4a-3\\\\4a=2\\\\\boxed{a=\dfrac{1}{2}}[/tex]
