a - długość krawędzi sześcianu
d=a√3 - przekątna sześcianu
V=a³
27cm³=a³
a=3cm
d=3√3cm
a/d=a/(a√3)=1/√3=√3/3 lub 3cm/(3√3cm)=1/√3=√3/3
Szukany stosunek wynosi √3/3.
Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
SKoro sześcian to bryła składająca się z 6-ciu kwadratów o krawędzi (a). To przekątna ściany ma miarę:
[tex]d_{sciany}=a\sqrt2[/tex]
Przekątną z kolei całego sześcianu wyliczymy za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Mianowicie: przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkąta zbudowanego z krawędzi sześcianu (a) oraz przekątnej jednej ze ścian (a pierwiastek z 2).
Zatem wyliczymy teraz tę przekątną sześcianu:
[tex]a^2+(\sqrt2a)^2=d^2\\\\a^2+2a^2=d^2\\\\d^2=3a^2\\\\d=\sqrt{3a^2}\\\\d=\sqrt3a[/tex]
Objętość sześcianu określa z kolei wzór:
[tex]V=a^3[/tex]
Więc znając objętość sześcianu wyznaczymy jego krawędź i potem jego przekątną:
[tex]V=27\ [cm^3]\\\\a^3=27\\a=\sqrt[3]{27}\\a=\sqrt[3]{3^3}\\\\a=3\ [cm][/tex]
[tex]d=a\sqrt3\\\\d=3\sqrt3\ [cm][/tex]
Teraz określamy stosunek długości przekątnej sześcianu do krawędzi:
[tex]\dfrac{d}{a}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3[/tex]
I to jest koniec zadania.