0,7(45) = 0,7454545 ...
x = 0,7(45)
10x = 7,(45)
1000x = 745,(45)
1000x - 10x = 745,(45) - 7,(45)
990x = 738 /:990
x = 738/990 = 41/55
0,7(45) = 41/55
Odpowiedź:
[tex]0,7(45)=\dfrac{41}{55}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
I sposób:
Przesuwamy przecinek, tak, żeby okres zaczynał się od razu po przecinku:[tex]0,7(45)=x\\\\0,74545....=x\qquad/\cdot10\\\\7,454545....=10x[/tex]
Następnie przesuwamy przecinek o "jeden okres"
[tex]7,454545....=10x\qquad/\cdot100\\\\745,454545...=1000x[/tex]
Odejmujemy stronami poprzednie równanie od ostatniego:
[tex]745,454545...=1000x\\\underline{\quad7,454545....=10x\ \ }\\738\qquad =\quad990x[/tex]
Stąd:
[tex]990x=738\qquad/:990\\\\x=\dfrac{738}{990}=\dfrac{41}{55}[/tex]
II sposób:
Jeśli okres ułamka zaczyna się od razu po przecinku to korzystamy z analogicznej zamiany jak przy ułamkach skończonych, tylko zamiast 1 z zerami w mianowniku mamy same dziewiątki (tyle ile cyfr w okresie) np.:
[tex]0,4=\frac4{10} \qquad\qquad 0,(4)=\frac49\\\\0,05=\frac5{100} \qquad\qquad 0,(05)=\frac{5}{99}\\\\0,357=\frac{357}{1000} \qquad\qquad 0,(357)=\frac{357}{999}[/tex]
Przekształcamy ułamek do postaci w której możemy to wykorzystać.
[tex]0,7(45)=0,7+0,0(45)=0,7+0,1\cdot0,(45)=\dfrac7{10}+\dfrac1{10}\cdot\dfrac{45}{99}=\\\\=\dfrac{7}{10}+\dfrac{5}{110}=\dfrac{77}{110}+\dfrac{5}{110}=\dfrac{82}{110}=\dfrac{41}{55}[/tex]