Oznaczamy długość krawędzi sześcianu jako a. Wtedy jego przekątna ma długość:
[tex]a\sqrt{3}[/tex]
Natomiast przekątna podstawy ma długość:
[tex]a\sqrt{2}[/tex]
Stąd:
[tex]a\sqrt{3}=a\sqrt{2}+1\\\\a\sqrt{3}-a\sqrt{2}=1\\\\a(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\\\\a=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\ [\text{cm}][/tex]
Objętość tego sześcianu:
[tex]V=a^3=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^3=3\sqrt{3}+9\sqrt{2}+6\sqrt{3}+2\sqrt{2}=\boxed{(9\sqrt{3}+11\sqrt{2})\ [\text{cm}^3]}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_{pc}=6a^2=6\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=6\cdot(3+2\sqrt{6}+2)=\boxed{(30+12\sqrt{6})\ [\text{cm}^2]}[/tex]
