Rozwiązanie:
[tex]$2 \cdot 1^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3^{2}+...+n(n-1)^{2}+(n+1)n^2=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}[/tex]
Najpierw sprawdzamy, czy równość zachodzi dla [tex]n=1[/tex] :
[tex]$2 \cdot 1^{2}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{12}[/tex]
[tex]2=2[/tex]
[tex]L=P[/tex]
Zatem zachodzi.
Założenie indukcyjne:
[tex]$2 \cdot 1^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3^{2}+...+n(n-1)^{2}+(n+1)n^2=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}[/tex]
dla pewnego [tex]n[/tex].
Teza indukcyjna:
[tex]$2 \cdot 1^{2}+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 3^{2}+...+n(n-1)^{2}+(n+1)n^2+(n+2)(n+1)^2=[/tex]
[tex]$=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(3n+4)}{12}[/tex]
Dowód:
Korzystając z założenia teza przybiera postać:
[tex]$\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}+(n+2)(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(3n+4)}{12}[/tex]
Mnożymy przez [tex]12[/tex] :
[tex]n(n+1)(n+2)(3n+1)+12(n+2)(n+1)^2=(n+1)(n+2)(n+3)(3n+4)[/tex]
Przekształcając lewą stronę:
[tex]L=(n+1)(n+2)(n(3n+1)+12(n+1))=(n+1)(n+2)(3n^{2}+13n+12)=[/tex]
[tex]=(n+1)(n+2)(n+3)(3n+4)=P[/tex]
co kończy dowód.
