Mamy:
[tex]\boxed{A=(0,0)}[/tex]
Oznaczmy:
[tex]C=(-a,0)[/tex]
Podstawa trójkąta równobocznego AC leży na osi OX. Punkt C leży na ujemnej półosi, więc przy wprowadzonych oznaczeniach długość boku trójkąta równobocznego jest równa a. Spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka B dzieli naszą podstawę na dwie równe części, zatem jego pierwsza współrzędna to x = -a/2. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Badamy dla jakiego a do paraboli należy punkt o współrzędnych:
[tex]B=\Big(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Big)[/tex]
Mamy:
[tex]\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\Big(-\dfrac{a}{2}\Big)^2\\\\\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2}{4}\\\\\\a=2\sqrt{3}[/tex]
Stąd natychmiast mamy:
[tex]\boxed{C=(-2\sqrt{3},0)}[/tex]
oraz:
[tex]\boxed{B=(-\sqrt{3},3)}[/tex]
Środek okręgu wpisanego leży na wspomnianej wcześniej wysokości trójkąta, więc pierwsza współrzędna jego środka to x = -a/2. Promień okręgu jest równy:
[tex]r=\dfrac{1}{3}h=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1[/tex]
Stąd druga współrzędna środka okręgu to y = 1. Mamy równanie okręgu:
[tex]S=(-\sqrt{3},1)\\\\(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\\\\boxed{(x+\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1}[/tex]
W załączniku znajduje się rysunek ilustrujący rozwiązanie.
