Odpowiedź:
[tex]$m \in \Big(\frac{1}{2} ,\frac{2}{3} \Big)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$\Big|\frac{|x|+4}{2|x|-6} \Big|=m[/tex]
Rozważmy funkcję:
[tex]$f(x)=\Big|\frac{|x|+4}{2|x|-6} \Big|[/tex]
Postaramy się narysować jej wykres. W pierwszej kolejności zajmiemy się wnętrzem. Jeżeli nie patrzeć na moduł - jest to funkcja homograficzna. Przekształćmy ją nieco:
[tex]$\frac{|x|+4}{2|x|-6} =\frac{|x|-3+7}{2(|x|-3)} =\frac{7}{2(|x|-3)} +\frac{1}{2}=\frac{\frac{7}{2} }{|x|-3} +\frac{1}{2}[/tex]
To jest już postać kanoniczna takiej funkcji. Z niej łatwo jest odczytać położenie wykresu (ćwiartki), asymptoty wykresu, przecięcia z osiami itp. Ogólnie łatwo będzie nam to narysować. Wyjdziemy od funkcji:
[tex]$g(x)=\frac{\frac{7}{2} }{x-3} +\frac{1}{2}[/tex]
Wykres będzie przebiegał w ćwiartce [tex]I[/tex] i [tex]III[/tex] układu. Asymptotami jego wykresu będą [tex]x=3[/tex] oraz [tex]$y=\frac{1}{2}[/tex]. Przecięcie z osiami:
[tex]OX: (-4,0)\\[/tex]
[tex]$OY:\Big(0,-\frac{2}{3} \Big)[/tex]
Wykres funkcji jest w załączniku.
Teraz dokonamy przekształcenia:
[tex]g(x) \rightarrow g(|x|)[/tex]
aby otrzymać wykres wnętrza funkcji [tex]f[/tex]. Przekształcenie polega na "odrzuceniu" części wykresu z lewej strony osi [tex]OY[/tex] i symetrycznym odbiciu części wykresu znajdującego się z prawej strony tej osi. Wykres tej funkcji również umieszczam w załączniku.
Teraz zrobimy ostatnie już przekształcenie:
[tex]g(|x|) \rightarrow|g(|x|)|[/tex]
Wygląda skomplikowanie, ale mówiąc po ludzku nakładamy moduł na funkcję, którą właśnie narysowaliśmy, czyli innymi słowy to, co jest pod osią [tex]OX[/tex] (to co jest ujemne) odbijamy symetrycznie nad tę oś (wartości stają się dodatnie). Wykres prezentuje w załączniku.
Teraz, gdy już mamy wykres funkcji [tex]f[/tex] łatwo rozwiążemy zadanie. Wystarczy spojrzeć na wykres i odczytać rozwiązanie:
[tex]$m \in \Big(\frac{1}{2} ,\frac{2}{3} \Big)[/tex]
